En álgebra abstracta , una extensión normal es una extensión algebraica campo L / K para que cada polinomio que es irreducible sobre K o bien no tiene raíz en L o escisiones en factores lineales en L . Bourbaki llama a esta extensión una cuasi extensión de Galois .
Definición
La extensión del campo algebraica L / K es normal (también decimos que L es normal en K ) si cada polinomio irreducible sobre K que tiene al menos una raíz en L escisiones más de L . En otras palabras, si α ∈ L , entonces todos los conjugados de α más de K (es decir, todas las raíces de la polinomio mínimo de α sobre K ) pertenecen a L .
Otras propiedades
Deje que L sea una extensión de un campo K . Luego:
- Si L es una extensión normal de K y si E es una extensión intermedia (es decir, L ⊃ E ⊃ K ), entonces L es una extensión normal de E . [1]
- Si E y F son extensiones normales de K contenidos en L , entonces el compositum EF y E ∩ F también son extensiones normales de K . [ cita requerida ]
Condiciones equivalentes para la normalidad
Dejar ser algebraico. El campo L es una extensión normal si y solo si se cumple alguna de las condiciones equivalentes a continuación.
- El polinomio mínimo sobre K de cada elemento en L se divide en L ;
- Hay un conjunto de polinomios que se dividen simultáneamente en L , de modo que sison campos, entonces S tiene un polinomio que no se divide en F ;
- Todos los homomorfismos tener la misma imagen;
- El grupo de automorfismos, , de L que fija elementos de K , actúa transitivamente sobre el conjunto de homomorfismos.
Ejemplos y contraejemplos
Por ejemplo, es una extensión normal de ya que es un campo dividido de Por otro lado, no es una extensión normal de ya que el polinomio irreducible tiene una raíz en él (es decir, ), pero no todos (no tiene las raíces cúbicas no reales de 2). Recuerda que el campode números algebraicos es el cierre algebraico de es decir, contiene Desde,
y, si ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad, entonces el mapa
es una incrustación de en cuya restricción a es la identidad. Sin embargo, σ no es un automorfismo de.
Para cualquier primo p , la extensiónes normal de grado p ( p - 1) . Es un campo de división de x p - 2 . Aquídenota cualquier p- ésima raíz primitiva de la unidad . El campo es el cierre normal (ver más abajo) de .
Cierre normal
Si K es un campo y L es una extensión algebraica de K , entonces hay cierta extensión algebraica M de L tal que M es una extensión normal de K . Además, hasta el isomorfismo, sólo existe una extensión de este tipo que es mínima, es decir, el único subcampo de M que contiene L y que es una extensión normal de K es el propio M. Esta extensión se denomina el cierre normal de la extensión L de K .
Si L es una extensión finita de K , entonces su cierre normal también es una extensión finita.
Ver también
Referencias
- ^ Milne, James. Campos y teoría de Galois . jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html.
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
- Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2a ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787