El problema de Alhazen , también conocido como el problema del billar de Alhazen , es un problema matemático en óptica geométrica formulado por primera vez por Ptolomeo en 150 d. C. [1] Lleva el nombre del matemático árabe del siglo XI Alhazen ( Ibn al-Haytham ), quien presentó una solución geométrica en su Libro de Óptica . La solución algebraica involucra ecuaciones cuárticas y fue encontrada en 1965 por Jack M. Elkin.
Formulación geométrica
El problema consiste en dibujar líneas a partir de dos puntos, que se encuentran en un tercer punto de la circunferencia de un círculo y forman ángulos iguales con la normal en ese punto ( reflexión especular ). Así, su principal aplicación en óptica es resolver el problema "Encontrar el punto de un espejo cóncavo esférico en el que debe incidir un rayo de luz procedente de un punto dado para reflejarse en otro punto". Esto conduce a una ecuación de cuarto grado . [2] [1] (El propio Alhazen nunca usó esta reescritura algebraica del problema)
La solución de Alhazen
Ibn al-Haytham resolvió el problema usando secciones cónicas y una demostración geométrica.
Solución algebraica
Matemáticos posteriores como Christiaan Huygens , James Gregory , Guillaume de l'Hôpital , Isaac Barrow y muchos otros, intentaron encontrar una solución algebraica al problema, utilizando varios métodos, incluidos métodos analíticos de geometría y derivación por números complejos . [3] [4] [5] [6] [7]
Una solución algebraica al problema fue finalmente encontrada por primera vez en 1965 por Jack M. Elkin, un actuarista. [8] Más tarde se redescubrieron otras soluciones: en 1989, por Harald Riede; [9] en 1990 (presentado en 1988), por Miller y Vegh; [10] y en 1992, por John D. Smith [3] y también por Jörg Waldvogel [11]
En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró el teorema de que no existe una construcción de regla y compás para la solución general del problema de Alhazen [12] [13] (aunque en 1965 Elkin ya había proporcionado un contraejemplo a la construcción euclidiana) . [3]
Generalización
Recientemente, los investigadores de Mitsubishi Electric Research Labs resolvieron la extensión del problema de Alhazen a los espejos cuadráticos rotacionalmente simétricos generales, incluidos los espejos hiperbólicos, parabólicos y elípticos. [14] Demostraron que el punto de reflexión del espejo se puede calcular resolviendo una ecuación de octavo grado en el caso más general. Si la cámara (ojo) se coloca en el eje del espejo, el grado de la ecuación se reduce a seis. [15] El problema de Alhazen también se puede extender a múltiples refracciones de una bola esférica. Dada una fuente de luz y una bola esférica de cierto índice de refracción, el punto más cercano de la bola esférica donde la luz se refracta al ojo del observador se puede obtener resolviendo una ecuación de décimo grado. [15]
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric. "Problema del billar de Alhazen" . Mathworld . Consultado el 24 de septiembre de 2008 .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ a b c Smith, John D. (1992). "El notable Ibn al-Haytham". La Gaceta Matemática . 76 (475): 189-198. doi : 10.2307 / 3620392 . JSTOR 3620392 .
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- ^ Fujimura, Masayo; Hariri, Parisa; Mocanu, Marcelina; Vuorinen, Matti (2018). "El problema de Ptolomeo-Alhazen y la reflexión del espejo esférico". Métodos computacionales y teoría de funciones . 19 (1): 135-155. arXiv : 1706.06924 . doi : 10.1007 / s40315-018-0257-z . ISSN 1617-9447 . S2CID 119303124 .
- ^ Baker, Marcus (1881). "Problema de Alhazen". Revista Estadounidense de Matemáticas . 4 (1/4): 327–331. doi : 10.2307 / 2369168 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2369168 .
- ^ Alperin, Roger (18 de julio de 2002). "Origami matemático: otra visión del problema óptico de Alhazen". En Hull, Thomas (ed.). Origami ^ {3} . AK Peters / CRC Press. doi : 10.1201 / b15735 . ISBN 978-0-429-06490-6.
- ^ Elkin, Jack M. (1965), "Un problema engañosamente fácil", Profesor de matemáticas , 58 (3): 194-199, JSTOR 27968003
- ^ Riede, Harald (1989), "Reflexion am Kugelspiegel. Oder: das Problem des Alhazen", Praxis der Mathematik (en alemán), 31 (2): 65–70
- ^ Miller, Allen R .; Vegh, Emanuel (1990). "Calcular el ángulo rasante de la reflexión especular". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 21 (2): 271-274. doi : 10.1080 / 0020739900210213 . ISSN 0020-739X .
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- ^ Neumann, Peter M. (1998), "Reflexiones sobre la reflexión en un espejo esférico", American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi : 10.1080 / 00029890.1998.12004920 , JSTOR 2589403 , MR 1626185
- ^ Highfield, Roger (1 de abril 1997), "Don resuelve el último puzzle dejado por los antiguos griegos" , Electronic Telegraph , 676 , archivados desde el original el 23 de noviembre de 2004 , recuperado 2008-09-24
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