Un problema matemático es un problema que puede representarse , analizarse y posiblemente resolverse con los métodos de las matemáticas . Esto puede ser un problema del mundo real, como calcular las órbitas de los planetas en el sistema solar, o un problema de naturaleza más abstracta, como los problemas de Hilbert .
También puede ser un problema que se refiere a la naturaleza de las matemáticas en sí, como la paradoja de Russell .
El resultado del problema matemático resuelto se demuestra y examina formalmente.
Problemas del mundo real
Los problemas matemáticos informales del "mundo real" son preguntas relacionadas con un escenario concreto, como "Adán tiene cinco manzanas y le da a Juan tres. ¿Cuántas le quedan?". Estas preguntas suelen ser más difíciles de resolver que los ejercicios matemáticos regulares como "5 - 3", incluso si uno conoce las matemáticas necesarias para resolver el problema. Conocidos como problemas de palabras , se utilizan en la educación matemática para enseñar a los estudiantes a conectar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas.
En general, para usar las matemáticas para resolver un problema del mundo real, el primer paso es construir un modelo matemático del problema. Esto implica abstraerse de los detalles del problema, y el modelador debe tener cuidado de no perder aspectos esenciales al traducir el problema original en uno matemático. Una vez resuelto el problema en el mundo de las matemáticas, la solución debe traducirse de nuevo al contexto del problema original.
Al mirar hacia afuera, hay varios fenómenos, desde simples hasta complejos, en el mundo real. Algunos de ellos también tienen el mecanismo complejo con observación microscópica, mientras que tienen la apariencia simple hacia afuera. Depende de la escala de la observación y la estabilidad del mecanismo. No solo existe el caso de que el fenómeno simple explicado por el modelo simple, sino también el caso de que el modelo simple podría ser capaz de explicar el fenómeno complejo. Uno de los modelos de ejemplo es un modelo de la teoría del caos .
Problemas abstractos
Los problemas matemáticos abstractos surgen en todos los campos de las matemáticas. Si bien los matemáticos generalmente los estudian por sí mismos, al hacerlo se pueden obtener resultados que encuentran aplicación fuera del ámbito de las matemáticas. La física teórica ha sido históricamente y sigue siendo una rica fuente de inspiración .
Se ha demostrado rigurosamente que algunos problemas abstractos no tienen solución, como cuadrar el círculo y trisecar el ángulo utilizando solo las construcciones de compás y regla de la geometría clásica, y resolver la ecuación quíntica general algebraicamente. También son demostrablemente insolubles los llamados problemas indecidibles , como el problema de la detención de las máquinas de Turing .
Muchos problemas abstractos pueden resolverse de manera rutinaria, otros se han resuelto con gran esfuerzo, ya que se han logrado algunos avances significativos sin haber conducido todavía a una solución completa, y otros han resistido todos los intentos, como la conjetura de Goldbach y la conjetura de Collatz . Algunos problemas abstractos difíciles bien conocidos que se han resuelto hace relativamente poco tiempo son el teorema de los cuatro colores , el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré .
Todas las nuevas ideas matemáticas que desarrollan un nuevo horizonte en nuestra imaginación no corresponden al mundo real. La ciencia es una forma de buscar sólo nuevas matemáticas, si todo eso corresponde. [1] Desde el punto de vista de las matemáticas modernas, se ha pensado que para resolver un problema matemático se puede reducir formalmente a una operación de símbolo que restringida por ciertas reglas como el ajedrez (o shogi , o go ). [2] Sobre este significado, Wittgenstein interpreta las matemáticas a un juego de lenguaje ( de: Sprachspiel ). Entonces, un matemático propone o intenta resolver un problema matemático que no tiene relación con un problema real. Y puede ser que el interés de estudiar matemáticas para el matemático mismo (o ella misma) hiciera mucho más que novedad o diferencia en el juicio de valor del trabajo matemático, si las matemáticas son un juego. Popper critica tal punto de vista que es capaz de ser aceptado en las matemáticas pero no en otras materias científicas.
Las computadoras no necesitan tener un sentido de las motivaciones de los matemáticos para hacer lo que hacen. [3] [4] Las definiciones formales y las deducciones comprobables por computadora son absolutamente fundamentales para la ciencia matemática . La vitalidad de las metodologías basadas en símbolos y comprobables por computadora no es inherente a las reglas únicamente, sino que depende de nuestra imaginación. [4]
Degradación de problemas a ejercicios.
Los educadores matemáticos que utilizan la resolución de problemas para la evaluación tienen un problema redactado por Alan H. Schoenfeld:
- ¿Cómo se pueden comparar los resultados de las pruebas de un año a otro, cuando se utilizan problemas muy diferentes? (Si se utilizan problemas similares año tras año, los profesores y los estudiantes aprenderán lo que son, los estudiantes los practicarán: los problemas se convierten en ejercicios y la prueba ya no evalúa la resolución de problemas). [5]
Sylvestre Lacroix se enfrentó al mismo problema casi dos siglos antes:
- ... es necesario variar las preguntas que los alumnos puedan comunicarse entre sí. Aunque no aprueben el examen, es posible que lo aprueben más tarde. Así, la distribución de preguntas, la variedad de temas o las respuestas, corre el riesgo de perder la oportunidad de comparar con precisión a los candidatos entre sí. [6]
Esta degradación de los problemas en ejercicios es característica de las matemáticas en la historia. Por ejemplo, al describir los preparativos para los Tripos matemáticos de Cambridge en el siglo XIX, Andrew Warwick escribió:
- ... muchas familias de los problemas estándar de entonces habían puesto a prueba originalmente las habilidades de los más grandes matemáticos del siglo XVIII. [7]
Ver también
- Lista de problemas matemáticos sin resolver
- Resolución de problemas
- Juego de matematicas
Referencias
- ^ 斉 藤, 隆 央 (15/02/2008).超 ひ も 理論 を 疑 う : 「見 え な い 次 元」 は ど こ ま で 物理学 か? (en japonés) (1ª ed.). Tokio: 早川 書房. pag. 17. ISBN 978-4-15-208892-5, traducido deCS1 maint: posdata ( enlace )
Krauss, Lawrence M. (2005). Escondiéndose en el espejo: la búsqueda de realidades alternativas, desde Platón hasta la teoría de cuerdas a través de Alicia en el país de las maravillas, Einstein y The Twilight Zone . Estados Unidos: Penguin Group . - ^ 前 原, 昭 二 (30 de septiembre de 1968).集合論 1 . ブ ル バ キ 数学 原 論 (en japonés) (1ª ed.). Tokio: 東京 図 書. págs. 1–4. traducido de
Bourbaki, Nicolas (1966). Théorie des ensembles . ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE (3 ed.). París: Hermann. - ^ ( Newby & Newby 2008 ), "La segunda prueba es que, aunque tales máquinas podrían ejecutar muchas cosas con igual o tal vez mayor perfección que cualquiera de nosotros, sin duda fallarían en algunas otras de las cuales se podría descubrir que no actuaron desde el conocimiento , sino únicamente desde la disposición de sus órganos: pues si bien la razón es un instrumento universal igualmente disponible en todas las ocasiones, estos órganos, por el contrario, necesitan una disposición particular para cada acción particular; de ahí que deba Sería moralmente imposible que exista en cualquier máquina una diversidad de órganos suficiente para permitirle actuar en todos los acontecimientos de la vida, en la forma en que nuestra razón nos permite actuar ". traducido de
( Descartes 1637 ) , page = 57 , "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organos ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement imposible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir ". - ^ a b Heaton, Luke (2015). "Experiencia vivida y la naturaleza de los hechos". Una breve historia del pensamiento matemático . Gran Bretaña: Robinson. pag. 305. ISBN 978-1-4721-1711-3.
- ^ Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Evaluación de la competencia matemática , prefacio páginas x, xi, Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Cambridge University PressISBN 978-0-521-87492-2
- ↑ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathiques en particulier , página 201
- ^ Andrew Warwick (2003) Maestría en teoría: Cambridge y el auge de la física matemática , página 145, University of Chicago PressISBN 0-226-87375-7
- Newby, Ilana; Newby, Greg (1 de julio de 2008). "Discurso sobre el método de conducir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias por René Descartes" . Proyecto Gutenberg . Consultado el 13 de febrero de 2019 ., traducido de
- René, Descartes (1637). Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les scienses, plus la dioptrique, les météores et la géométrie qui sont des essais de cette método . Gallica - La biblioteca digital BnF (en francés).