Variedad casi compleja

En matemáticas , una variedad casi compleja es una variedad suave equipada con una estructura compleja lineal suave en cada espacio tangente . Toda variedad compleja es una variedad casi compleja, pero hay variedades casi complejas que no son variedades complejas. Las estructuras casi complejas tienen importantes aplicaciones en geometría simpléctica .

Sea M una variedad suave. Una estructura casi compleja J en M es una estructura compleja lineal (es decir, un mapa lineal que cuadra a -1) en cada espacio tangente de la variedad, que varía suavemente en la variedad. En otras palabras, tenemos un campo tensorial suave J de grado (1, 1) tal que cuando se considera como un isomorfismo de paquete vectorial en el paquete tangente . Una variedad equipada con una estructura casi compleja se denomina variedad casi compleja . ${\ estilo de visualización J ^ {2} = -1}$ $J\dos puntos TM\to TM$

Si M admite una estructura casi compleja, debe ser de dimensión uniforme. Esto se puede ver de la siguiente manera. Supongamos que M es n -dimensional, y sea J : TM → TM una estructura casi compleja. Si J ² = −1 entonces (det J ) ² = (−1) ^norte . Pero si M es una variedad real, entonces det J es un número real; por lo tanto, n debe ser par si M tiene una estructura casi compleja. Se puede demostrar que también debe ser orientable .

Un sencillo ejercicio de álgebra lineal muestra que cualquier espacio vectorial de dimensión par admite una estructura lineal compleja. Por lo tanto, una variedad de dimensión uniforme siempre admite un tensor de rango (1, 1) puntualmente (que es solo una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J _p² = −1 en cada punto p . Solo cuando este tensor local se puede unir para definirlo globalmente, la estructura compleja lineal puntual produce una estructura casi compleja, que luego se determina de manera única. La posibilidad de este parcheo, y por lo tanto la existencia de una estructura casi compleja sobre una variedad M , es equivalente a unareducción del grupo de estructura del fibrado tangente de GL(2 n , R ) a GL( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una topología puramente algebraica y se entiende bastante bien.

Para todo entero n, el espacio plano R ^{2 n} admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de una estructura tan casi compleja es (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): para i par , para i impar . $J_{ij}=-\delta_{i,j-1}$ $J_{ij}=\delta _{i,j+1}$

Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son S ² y S ⁶ ( Borel & Serre (1953) ). En particular, a S ⁴ no se le puede dar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S ² , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta sobre la esfera de Riemann . La 6-esfera, S ^{6 , cuando se considera como el conjunto de}octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como laProblema de Hopf, según Heinz Hopf . ^[2]