Casi seguro

En la teoría de la probabilidad , se dice que un evento ocurre casi con seguridad (a veces abreviado como ) si ocurre con probabilidad 1 (o medida de Lebesgue 1). ^[1] En otras palabras, el conjunto de posibles excepciones puede no estar vacío, pero tiene probabilidad 0. El concepto es análogo al concepto de " casi en todas partes " en la teoría de la medida .

En los experimentos de probabilidad en un espacio muestral finito , a menudo no hay diferencia entre casi seguro y seguro (ya que tener una probabilidad de 1 a menudo implica incluir todos los puntos muestrales ). Sin embargo, esta distinción se vuelve importante cuando el espacio muestral es un conjunto infinito , ^[2] porque un conjunto infinito puede tener subconjuntos no vacíos de probabilidad 0.

Algunos ejemplos del uso de este concepto incluyen las versiones fuertes y uniformes de la ley de los grandes números y la continuidad de las trayectorias del movimiento browniano .

También se utilizan los términos casi con certeza (ac) y casi siempre (aa). Casi nunca describe lo contrario de casi seguro : un evento que ocurre con probabilidad cero ocurre casi nunca . ^[3]

Sea un espacio de probabilidad . Un evento ocurre casi con seguridad si . De manera equivalente, ocurre casi con seguridad si la probabilidad de que no ocurra es cero :. De manera más general, cualquier evento (no necesariamente en ) ocurre casi con seguridad si está contenido en un conjunto nulo : un subconjunto en tal que . ^[4] La noción de casi seguridad depende de la medida de probabilidad . Si es necesario enfatizar esta dependencia, se acostumbra decir que el evento ocurre P -casi seguramente, o casi seguramente . ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle P (E) = 1}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle P (E ^ {C}) = 0}$ ${\ Displaystyle E \ subseteq \ Omega}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E ^ {C}}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle P (N) = 0}$ ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ left (\! P \ right)}$

En general, un evento puede ocurrir "casi con seguridad", incluso si el espacio de probabilidad en cuestión incluye resultados que no pertenecen al evento, como lo ilustran los siguientes ejemplos.