Transformación alfa-beta

En ingeniería eléctrica , la transformación alfa-beta ( ) (también conocida como transformación de Clarke ) es una transformación matemática empleada para simplificar el análisis de circuitos trifásicos . Conceptualmente es similar a la transformación dq0 . Una aplicación muy útil de la transformación es la generación de la señal de referencia utilizada para el control de modulación por vector espacial de inversores trifásicos .${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Definición

La transformada aplicada a corrientes trifásicas, como la usa Edith Clarke , es ^[1]${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

donde es una secuencia de corriente trifásica genérica y es la secuencia de corriente correspondiente dada por la transformación . La transformada inversa es:${\displaystyle i_{abc}(t)}$${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

La transformación de Clarke anterior conserva la amplitud de las variables eléctricas a las que se aplica. De hecho, considere una secuencia de corriente continua, simétrica y trifásica

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

donde es el RMS de , , y es el ángulo variable en el tiempo genérico que también se puede configurar para sin pérdida de generalidad. Luego, aplicando a la secuencia actual, resulta${\displaystyle I}$${\displaystyle i_{a}(t)}$${\displaystyle i_{b}(t)}$${\displaystyle i_{c}(t)}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \omega t}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

donde se cumple la última ecuación ya que hemos considerado corrientes equilibradas. Como se muestra en lo anterior, las amplitudes de las corrientes en el marco de referencia son las mismas que en el marco de referencia natural.${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Transformación invariante de poder

Las potencias activa y reactiva calculadas en el dominio de Clarke con la transformación que se muestra arriba no son las mismas que las calculadas en el marco de referencia estándar. Esto sucede porque no es unitario . En cambio, para preservar los poderes activo y reactivo hay que considerar${\displaystyle T}$

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

que es una matriz unitaria y la inversa coincide con su transposición. ^[2] En este caso, las amplitudes de las corrientes transformadas no son las mismas que las del marco de referencia estándar, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

Finalmente, la transformación inversa en este caso es

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

Transformación simplificada

Dado que en un sistema equilibrado y, por lo tanto , también se puede considerar la transformada simplificada ^[3]${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$

${\displaystyle i_{\alpha \beta }(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

que es simplemente la transformación de Clarke original con la tercera ecuación excluida, y

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}.}$

Interpretación geométrica

La transformación se puede considerar como la proyección de las cantidades trifásicas (tensiones o corrientes) sobre dos ejes estacionarios, el eje alfa y el eje beta. Sin embargo, no se pierde información si el sistema está balanceado, ya que la ecuación Ia + Ib + Ic = 0 es equivalente a la ecuación para en la transformada. Si el sistema no está equilibrado, el término contendrá el componente de error de la proyección. Por lo tanto, un valor de cero indica que el sistema está equilibrado (y por lo tanto existe por completo en el espacio de coordenadas alfa-beta) y puede ignorarse para dos cálculos de coordenadas que operan bajo esta suposición de que el sistema está equilibrado. Esta es la elegancia de la transformación clarke, ya que reduce un sistema de tres componentes a un sistema de dos componentes gracias a esta suposición.${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle I_{\gamma }}$${\displaystyle I_{\gamma }}$${\displaystyle I_{\gamma }}$

Otra forma de entender esto es que la ecuación Ia + Ib + Ic = 0 define un plano en un espacio euclidiano de tres coordenadas. El espacio de coordenadas alfa-beta puede entenderse como el espacio de dos coordenadas definido por este plano, es decir, los ejes alfa-beta se encuentran en el plano definido por Ia + Ib + Ic = 0.

Esto también significa que para usar la transformada de Clarke, uno debe asegurarse de que el sistema esté equilibrado, de lo contrario, los cálculos de dos coordenadas posteriores serán erróneos. Esta es una consideración práctica en aplicaciones donde se miden las cantidades trifásicas y posiblemente pueden tener errores de medición.

Arriba se muestra la transformada aplicada a tres corrientes simétricas que fluyen a través de tres devanados separados por 120 grados físicos. Las corrientes trifásicas se retrasan en sus correspondientes tensiones de fase . El eje - se muestra con el eje alineado con la fase 'A'. El vector actual gira con velocidad angular . No hay componente ya que las corrientes están equilibradas.${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dq0}$transformar

Artículo principal: transformación dq0

La transformación es conceptualmente similar a la transformación. Mientras que la transformada es la proyección de las cantidades de fase en un marco de referencia giratorio de dos ejes, la transformada se puede considerar como la proyección de las cantidades de fase en un marco de referencia de dos ejes estacionario.${\displaystyle dq0}$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$${\displaystyle dq0}$${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$

Ver también

• Componentes simétricos
• Transformada Y-Δ
• Control orientado al campo

Referencias

1. WC Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (julio de 1951). "Determinación de corrientes y tensiones instantáneas mediante componentes alfa, beta y cero". Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos . 70 (2): 1248-1255. doi : 10.1109 / T-AIEE.1951.5060554 . ISSN  0096-3860 .
2. S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). "Enfoque basado en el área para la evaluación de la calidad de la energía trifásica en el plano de Clarke" . Revista de sistemas eléctricos . 04 (01): 62 . Consultado el 26 de noviembre de 2020 .
3. F. Tahri, A.Tahri, Eid A. AlRadadi y A. Draou Senior, "Análisis y control del compensador de VAR estático avanzado basado en la teoría de la potencia reactiva instantánea", presentado en ACEMP, Bodrum, Turquía, 2007.

Referencias generales

• CJ O'Rourke y col. "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park", en IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, págs.2070-2083, diciembre de 2019.