Grupo alterno
En matemáticas , un grupo alterno es el grupo de permutaciones pares de un conjunto finito . El grupo alterno en un conjunto de n elementos se llama grupo alterno de grado n , o grupo alterno en n letras y se denota por A n o Alt ( n ).
Para n > 1 , el grupo A n es el subgrupo de conmutadores del grupo simétrico S n con índice 2 y, por lo tanto, tiene n ! / 2 elementos. Es el núcleo del homomorfismo del grupo de firmas sgn: S n → {1, −1} explicado bajo grupo simétrico .
El grupo A n es abeliano si y solo si n ≤ 3 y simple si y solo si n = 3 o n ≥ 5 . Un 5 es el grupo simple no abeliano más pequeño , de orden 60, y el grupo no resoluble más pequeño .
El grupo A 4 tiene el cuatro-grupo V de Klein como un subgrupo normal apropiado , a saber, la identidad y las transposiciones dobles {(), (12) (34), (13) (24), (14) (23)} , ese es el núcleo de la sobreyección de A 4 sobre A 3 = Z 3 . Tenemos la secuencia exacta V → A 4 → A 3 = Z 3 . En la teoría de Galois , este mapa, o más bien el mapa correspondiente S 4 → S 3 , corresponde a asociar el resolvent cúbico de Lagrange a un cuártico, lo que permite lapolinomio cuartico a ser resuelto por radicales, según lo establecido por Lodovico Ferrari .
Como en el grupo simétrico , dos elementos cualesquiera de A n que estén conjugados por un elemento de A n deben tener la misma forma de ciclo . Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Si la forma del ciclo consta solo de ciclos de longitud impar sin dos ciclos de la misma longitud, donde los ciclos de longitud uno se incluyen en el tipo de ciclo, entonces hay exactamente dos clases de conjugación para esta forma de ciclo ( Scott 1987 , §11.1, p299 ).
Para n ≥ 3, A n se genera mediante 3 ciclos, ya que se pueden obtener 3 ciclos combinando pares de transposiciones. Este grupo electrógeno se utiliza a menudo para demostrar que A n es simple para n ≥ 5 .
Las permutaciones impares están coloreadas:
Transposiciones en verde y 4 ciclos en naranja
Elementos: Las permutaciones pares (la identidad, ocho 3 ciclos y tres transposiciones dobles (transposiciones dobles en negrita))
Subgrupos:
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