El criterio de Andronov-Pontryagin es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de los sistemas dinámicos en el plano. Fue derivado por Aleksandr Andronov y Lev Pontryagin en 1937.
Declaración
Un sistema dinámico
dónde es un - campo de vector en el avión ,, es orbitalmente topológicamente estable si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- Todos los puntos de equilibrio y las órbitas periódicas son hiperbólicas .
- No hay conexiones de sillín .
La misma declaración es válida si el campo vectorial se define en el disco unitario y es transversal al límite.
Aclaraciones
La estabilidad topológica orbital de un sistema dinámico significa que para cualquier perturbación suficientemente pequeña (en la métrica C 1 ), existe un homeomorfismo cercano al mapa de identidad que transforma las órbitas del sistema dinámico original en las órbitas del sistema perturbado (cf. estabilidad estructural ).
La primera condición del teorema se conoce como hiperbolicidad global . Un cero de un campo vectorial v , es decir, un punto x 0 donde v ( x 0 ) = 0, se dice que es hiperbólico si ninguno de los valores propios de la linealización de v en x 0 es puramente imaginario. Se dice que una órbita periódica de un flujo es hiperbólica si ninguno de los valores propios del mapa de retorno de Poincaré en un punto de la órbita tiene el valor absoluto uno.
Por último, la conexión en silla de montar se refiere a una situación en la que una órbita desde un punto de silla entra en el mismo u otro punto de silla, es decir, las separatrices inestables y estables están conectadas (cf órbita homoclínica y órbita heteroclínica ).
Referencias
- Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1937). "Грубые системы" [Sistemas burdos]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 14 (5): 247–250.Citado en Kuznetsov (2004) .
- Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría aplicada de la bifurcación . Saltador. ISBN 978-0-387-21906-6.. Ver teorema 2.5.