En matemáticas , una órbita homoclínica es una trayectoria de un flujo de un sistema dinámico que une un punto de equilibrio de silla de ruedas a sí mismo. Más precisamente, una órbita homoclínica se encuentra en la intersección de la variedad estable y la variedad inestable de un equilibrio .
Considere el sistema dinámico continuo descrito por el ODE
Suponga que hay un equilibrio en , luego una solución es una órbita homoclínica si
Si el espacio de fase tiene tres o más dimensiones, entonces es importante considerar la topología de la variedad inestable del punto silla. Las figuras muestran dos casos. Primero, cuando el colector estable es topológicamente un cilindro, y segundo, cuando el colector inestable es topológicamente una tira de Möbius ; en este caso la órbita homoclínica se llama retorcida .
Sistema dinámico discreto
Las órbitas homoclínicas y los puntos homoclínicos se definen de la misma manera para funciones iteradas , como la intersección del conjunto estable y el conjunto inestable de algún punto fijo o punto periódico del sistema.
También tenemos la noción de órbita homoclínica cuando consideramos sistemas dinámicos discretos. En tal caso, sies un difeomorfismo de una variedad , Nosotros decimos eso es un punto homoclínico si tiene el mismo pasado y futuro, más específicamente, si existe un punto fijo (o periódico) tal que
Propiedades
La existencia de un punto homoclínico implica la existencia de un número infinito de ellos. [1] Esto proviene de su definición: la intersección de un conjunto estable e inestable. Ambos conjuntos son invariantes por definición, lo que significa que la iteración directa del punto homoclínico está tanto en el conjunto estable como en el inestable. Al iterar N veces, el mapa se acerca al punto de equilibrio por el conjunto estable, pero en cada iteración también está en la variedad inestable, lo que muestra esta propiedad.
Esta propiedad sugiere que la dinámica complicada surge por la existencia de un punto homoclínico. De hecho, Smale (1967) [2] mostró que estos puntos conducen a una dinámica similar a un mapa de herradura , que se asocia con el caos.
Dinámica simbólica
Al utilizar la partición de Markov , se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando las técnicas de dinámica simbólica . En este caso, una órbita homoclínica tiene una representación particularmente simple y clara. Suponer quees un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos
Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Puede estar escrito como
dónde es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto,), y es otra secuencia de símbolos, de longitud m (igualmente,). La notaciónsimplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Por tanto, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica se puede escribir como
con la secuencia intermedia siendo no vacío, y, por supuesto, no siendo p , ya que de lo contrario, la órbita simplemente sería.
Ver también
Referencias
- ^ Ott, Edward (1994). Caos en sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Smale, Stephen (1967). Sistemas dinámicos diferenciables . Toro. Amer. Matemáticas. Soc.73, 747–817.
- John Guckenheimer y Philip Holmes , Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales (Applied Mathematical Sciences Vol.42), Springer
enlaces externos
- Órbitas homoclínicas en el mapa de Henon con applets y comentarios de Java