En matemáticas , en el estudio de funciones iteradas y sistemas dinámicos , un punto periódico de una función es un punto al que el sistema regresa después de un cierto número de iteraciones de función o una cierta cantidad de tiempo.
Funciones iteradas
Dado un mapeo f de un conjunto X en sí mismo,
un punto x en X se llama punto periódico si existe una n de modo que
dónde es el n º iterate de f . El entero positivo más pequeño n que satisface lo anterior se llama período primo o período mínimo del punto x . Si cada punto en X es un punto periódico con el mismo período n , entonces f se llama periódico con período n (esto no debe confundirse con la noción de función periódica ).
Si existen distinta n y m tal que
entonces x se denomina punto preperiódico . Todos los puntos periódicos son preperiódicos.
Si f es un difeomorfismo de una variedad diferenciable , entonces la derivada se define, entonces se dice que un punto periódico es hiperbólico si
que es atractivo si
y es repugnante si
Si la dimensión de la variedad estable de un punto periódico o punto fijo es cero, el punto se llama fuente ; si la dimensión de su variedad inestable es cero, se llama sumidero ; y si tanto la variedad estable como la inestable tienen una dimensión distinta de cero, se denomina silla o punto silla .
Ejemplos de
Un punto de período uno se llama punto fijo .
exhibe periodicidad para varios valores del parámetro r . Para r entre 0 y 1, 0 es el único punto periódico, con período 1 (dando la secuencia 0, 0, 0, ..., que atrae todas las órbitas). Para r entre 1 y 3, el valor 0 sigue siendo periódico pero no atrae, mientras que el valor ( r - 1) / r es un punto periódico atrayente del período 1. Con r mayor que 3 pero menor que 1 + √ 6 , hay un par de puntos del período 2 que juntos forman una secuencia de atracción, así como los puntos 0 del período no atrayente 1 y ( r - 1) / r . A medida que el valor del parámetro r aumenta hacia 4, surgen grupos de puntos periódicos con cualquier número entero positivo para el período; para algunos valores de r, una de estas secuencias repetidas es atrayente mientras que para otros ninguna de ellas (con casi todas las órbitas caóticas).
Sistema dinámico
Dado un sistema dinámico global real ( R , X , Φ) con X el espacio de fase y Φ la función de evolución ,
un punto x en X se llama periódico con período t si existe un t > 0 de modo que
El t positivo más pequeño con esta propiedad se llama período primo del punto x .
Propiedades
- Dado un punto periódico x con período p , entoncespara todo t en R
- Dado un punto periódico x entonces todos los puntos en la órbita a través de x son periódicas con el mismo período primo.
Ver también
- Ciclo límite
- Límite establecido
- Conjunto estable
- Teorema de Sharkovsky
- Punto estacionario
- Puntos periódicos de asignaciones cuadráticas complejas
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