En física teórica , la dimensión de escala , o simplemente dimensión , de un operador local en una teoría de campo cuántico caracteriza las propiedades de escala del operador bajo dilataciones del espacio-tiempo. . Si la teoría cuántica de campos es invariante de escala , las dimensiones de escala de los operadores son números fijos; de lo contrario, son funciones que dependen de la escala de distancia.
Teoría de campo cuántico invariante de escala
En una teoría de campo cuántico invariante de escala , por definición cada operador O adquiere bajo una dilatación un factor , dónde es un número llamado la dimensión de escala de O . Esto implica en particular que la función de correlación de dos puntos depende de la distancia como . De manera más general, las funciones de correlación de varios operadores locales deben depender de las distancias de tal manera que
La mayoría de las teorías de invariantes de escala también son conformemente invariantes , lo que impone más restricciones a las funciones de correlación de los operadores locales. [1]
Teorías de campo libre
Las teorías libres son las teorías de campo cuántico invariantes de escala más simples. En las teorías libres, se hace una distinción entre los operadores elementales, que son los campos que aparecen en el lagrangiano , y los operadores compuestos que son productos de los elementales. La dimensión de escala de un operador elemental O se determina mediante análisis dimensional del Lagrangiano (en cuatro dimensiones espaciotemporales, es 1 para campos bosónicos elementales que incluyen los potenciales vectoriales, 3/2 para campos fermiónicos elementales, etc.). Esta dimensión de escala se denomina dimensión clásica ( también se utilizan los términos dimensión canónica y dimensión de ingeniería ). Un operador compuesto obtenido al tomar un producto de dos operadores de dimensiones y es un nuevo operador cuya dimensión es la suma .
Cuando se activan las interacciones, la dimensión de escala recibe una corrección llamada dimensión anómala (ver más abajo).
Teorías de campo interactivas
Hay muchas teorías de campo cuántico invariantes de escala que no son teorías libres; estos se llaman interactuar. Es posible que las dimensiones de escala de los operadores en tales teorías no se extraigan de un lagrangiano ; tampoco son necesariamente (la mitad) enteros. Por ejemplo, en la teoría invariante de escala (y conformemente) que describe los puntos críticos del modelo de Ising bidimensional hay un operadorcuya dimensión es 1/8. [2] [1]
La multiplicación de operadores es sutil en las teorías que interactúan en comparación con las teorías libres. La expansión del producto operador de dos operadores con dimensiones y generalmente no dará un operador único, sino una cantidad infinita de operadores, y su dimensión generalmente no será igual a . En el ejemplo de modelo de Ising bidimensional anterior, el producto del operador da un operador cuya dimensión es 1 y no el doble de la dimensión de . [2] [1]
Teoría de campos cuánticos invariantes sin escala
Hay muchas teorías de campo cuántico que, aunque no son exactamente invariantes de escala, permanecen aproximadamente invariantes de escala en un amplio rango de distancias. Estas teorías de campo cuántico se pueden obtener añadiendo a las teorías de campo libre términos de interacción con pequeños acoplamientos adimensionales. Por ejemplo, en cuatro dimensiones espaciotemporales se pueden agregar acoplamientos escalares cuárticos, acoplamientos Yukawa o acoplamientos de calibre. Las dimensiones de escala de los operadores en tales teorías se pueden expresar esquemáticamente como, dónde es la dimensión cuando todos los acoplamientos se establecen en cero (es decir, la dimensión clásica), mientras que se llama dimensión anómala , y se expresa como una serie de potencias en los acoplamientos denotados colectivamente como. [3] Tal separación de las dimensiones de escala en la parte clásica y anómala solo es significativa cuando los acoplamientos son pequeños, de modo que es una pequeña corrección.
Generalmente, debido a los efectos de la mecánica cuántica, los acoplamientos no permanecen constantes, sino que varían (en la jerga de la teoría cuántica de campos , corre ) con la escala de distancia de acuerdo con su función beta . Por lo tanto, la dimensión anómalatambién depende de la escala de distancia en tales teorías. En particular, las funciones de correlación de los operadores locales ya no son simples potencias sino que tienen una dependencia más complicada de las distancias, generalmente con correcciones logarítmicas.
Puede suceder que la evolución de los acoplamientos dé lugar a un valor donde la función beta desaparece. Luego, a largas distancias, la teoría se vuelve invariante de escala y las dimensiones anómalas dejan de funcionar. Este comportamiento se denomina punto fijo infrarrojo .
En casos muy especiales, puede suceder cuando los acoplamientos y las dimensiones anómalas no corren en absoluto, por lo que la teoría es invariante de escala en todas las distancias y para cualquier valor del acoplamiento. Por ejemplo, esto ocurre en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 .
Referencias
- ^ a b c Philippe Di Francesco; Pierre Mathieu; David Sénéchal (1997). Teoría de campos conformados . Nueva York: Springer.
- ^ a b En la nomenclatura de la teoría de campos conforme , esta teoría es el modelo mínimo que contiene los operadores y .
- ^ Peskin, Michael E; Daniel V Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Lectura [etc.]: Addison-Wesley.