Función beta (física)

Este artículo trata sobre las funciones beta de la física teórica. Para otras funciones beta, consulte Función beta (desambiguación) .

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
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En física teórica , específicamente en la teoría cuántica de campos , una función beta , β (g) , codifica la dependencia de un parámetro de acoplamiento , g , en la escala de energía , μ , de un proceso físico dado descrito por la teoría cuántica de campos . Se define como

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}~,}$

y, debido al grupo de renormalización subyacente , no tiene una dependencia explícita de μ , por lo que solo depende de μ implícitamente a través de g . Esta dependencia de la escala de energía así especificada se conoce como la ejecución del parámetro de acoplamiento, una característica fundamental de la dependencia de escala en la teoría cuántica de campos, y su cálculo explícito se puede lograr mediante una variedad de técnicas matemáticas.

Invarianza de escala

Si las funciones beta de una teoría cuántica de campos desaparecen, generalmente en valores particulares de los parámetros de acoplamiento, se dice que la teoría es invariante en escala . Casi todas las QFT invariantes de escala también son conformemente invariantes . El estudio de tales teorías es teoría de campo conforme .

Los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden ejecutarse incluso si la teoría de campos clásica correspondiente es invariante de escala. En este caso, la función beta distinta de cero nos dice que la invariancia de escala clásica es anómala .

Ejemplos

Las funciones beta generalmente se calculan en algún tipo de esquema de aproximación. Un ejemplo es la teoría de la perturbación , donde se supone que los parámetros de acoplamiento son pequeños. Luego, se puede hacer una expansión en las potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucle superior , debido al número de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes ).

A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones beta calculadas en la teoría de perturbaciones:

Electrodinámica cuántica

Artículo principal: Electrodinámica cuántica

La función beta de un bucle en electrodinámica cuántica (QED) es

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

o equivalente,

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

escrito en términos de la constante de estructura fina en unidades naturales, α = e ² / 4π .

Esta función beta nos dice que el acoplamiento aumenta con el aumento de la escala de energía, y QED se acopla fuertemente a alta energía. De hecho, el acoplamiento aparentemente se vuelve infinito con alguna energía finita, lo que resulta en un polo Landau . Sin embargo, no se puede esperar que la función beta perturbativa dé resultados precisos con un acoplamiento fuerte, por lo que es probable que el polo de Landau sea un artefacto de aplicar la teoría de la perturbación en una situación en la que ya no es válida.

Cromodinámica cuántica

Artículo principal: Cromodinámica cuántica

La función beta de un bucle en la cromodinámica cuántica con sabores y bosones de colores escalares es${\displaystyle n_{f}}$ ${\displaystyle n_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

o

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

escrito en términos de α _s = .${\displaystyle g^{2}/4\pi }$

Si n _f ≤ 16, la función beta resultante dicta que el acoplamiento disminuye al aumentar la escala de energía, un fenómeno conocido como libertad asintótica . Por el contrario, el acoplamiento aumenta al disminuir la escala de energía. Esto significa que el acoplamiento se vuelve grande a bajas energías y ya no se puede confiar en la teoría de la perturbación.

SU (N) Teoría de gauge no abeliana

Si bien el grupo de indicadores (Yang-Mills) de QCD es y determina 3 colores, podemos generalizar a cualquier número de colores , con un grupo de indicadores . Luego, para este grupo de calibre, con fermiones de Dirac en una representación de y con escalares complejos en una representación , la función beta de un bucle es${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle N_{c}}$${\displaystyle G=SU(N_{c})}$ ${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

donde es el Casimir cuadrático de y es otro invariante de Casimir definido por para generadores del álgebra de Lie en la representación R. (Para fermiones de Weyl o Majorana , reemplace por , y para escalares reales, reemplace por .) Para campos de calibre ( es decir, gluones) , necesariamente en el adjunto de , ; para fermiones en el fundamental representación (o anti-fundamental) de , . Luego, para QCD, con , la ecuación anterior se reduce a la listada para la función beta de la cromodinámica cuántica.${\displaystyle C_{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T(R)}$${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$${\displaystyle 4/3}$${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/6}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T(R)=1/2}$${\displaystyle N_{c}=3}$

Este famoso resultado fue obtenido casi simultáneamente en 1973 por Politzer , ^[1] Gross y Wilczek , ^[2] por lo que los tres recibieron el Premio Nobel de Física en 2004. Sin que estos autores lo supieran, G. 't Hooft había anunciado el resultado. en un comentario posterior a una charla de K. Symanzik en una pequeña reunión en Marsella en junio de 1972, pero nunca lo publicó. ^[3]

Acoplamientos modelo estándar Higgs-Yukawa

Artículo principal: punto fijo infrarrojo

En el modelo estándar , los quarks y los leptones tienen " acoplamientos Yukawa " al bosón de Higgs . Estos determinan la masa de la partícula. La mayoría de los acoplamientos Yukawa de los quarks y leptones son pequeños en comparación con el acoplamiento Yukawa del quark top . Estos acoplamientos Yukawa cambian sus valores según la escala de energía en la que se miden, a través del funcionamiento . La dinámica de los acoplamientos de quarks de Yukawa está determinada por la ecuación del grupo de renormalización :

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$,

donde es el acoplamiento del indicador de color (que es una función de y está asociado con la libertad asintótica ) y es el acoplamiento de Yukawa. Esta ecuación describe cómo cambia el acoplamiento de Yukawa con la escala de energía .${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu }$

Los acoplamientos Yukawa de los quarks arriba, abajo, encanto, extraño e inferior, son pequeños en la escala de energía extremadamente alta de la gran unificación , GeV. Por lo tanto, el término puede despreciarse en la ecuación anterior. Resolviendo, encontramos que aumenta ligeramente en las escalas de baja energía en las que las masas de quarks son generadas por el Higgs, GeV.${\displaystyle \mu \approx 10^{15}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu \approx 100}$

Por otro lado, las soluciones a esta ecuación para valores iniciales grandes hacen que los rhs se acerquen rápidamente a valores más pequeños a medida que descendemos en la escala de energía. La ecuación anterior se bloquea luego en el acoplamiento QCD . Esto se conoce como el punto cuasi-fijo (infrarrojo) de la ecuación del grupo de renormalización para el acoplamiento de Yukawa. ^{[4] [5]} No importa cuál sea el valor inicial inicial del acoplamiento, si es lo suficientemente grande, alcanzará este valor de punto cuasi-fijo y se predice la masa del quark correspondiente.${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g_{3}}$

El valor del punto cuasi-fijo se determina con bastante precisión en el modelo estándar, lo que lleva a una masa de quarks superior prevista de 230 GeV. La masa de quark superior observada de 174 GeV es ligeramente más baja que la predicción del modelo estándar en aproximadamente un 30%, lo que sugiere que puede haber más dobletes de Higgs más allá del bosón de Higgs del modelo estándar único.

Modelo estándar mínimo supersimétrico

Artículo principal: Modelo estándar mínimo supersimétrico § Unificación de acoplamiento de calibre

Los estudios grupales de renomalización en el Modelo Estándar Mínimo Supersimétrico (MSSM) de gran unificación y los puntos fijos de Higgs-Yukawa fueron muy alentadores de que la teoría estaba en el camino correcto. Sin embargo, hasta ahora, no ha surgido evidencia de las partículas de MSSM predichas en el experimento del Gran Colisionador de Hadrones .

Ver también

• Punto fijo Banks – Zaks
• Ecuación de Callan-Symanzik
• Trivialidad cuántica

Referencias

1. H. David Politzer (1973). "¿Resultados perturbativos fiables para interacciones fuertes?" . Phys. Rev. Lett . 30 : 1346-1349. Código Bibliográfico : 1973PhRvL..30.1346P . doi : 10.1103 / PhysRevLett.30.1346 .
2. DJ Gross y F. Wilczek (1973). "Teorías de calibre asintóticamente libres. 1" . Phys. Rev. D . 8 : 3633–3652. Código Bibliográfico : 1973PhRvD ... 8.3633G . doi : 10.1103 / PhysRevD.8.3633 ..
3. G. 't Hooft (1999). "¿Cuándo se descubrió la Libertad Asintótica?". Nucl. Phys. B Proc. Supl . 74 : 413–425. arXiv : hep-th / 9808154 . Código Bibliográfico : 1999NuPhS..74..413T . doi : 10.1016 / S0920-5632 (99) 00207-8 .
4. Pendleton, B .; Ross, GG (1981). "Predicciones de ángulo de mezcla y masa desde puntos fijos infrarrojos". Phys. Lett . B98 : 291. Bibcode : 1981PhLB ... 98..291P . doi : 10.1016 / 0370-2693 (81) 90017-4 .
5. Hill, CT (1981). "Masas de Quark y Lepton de puntos fijos del grupo de Renormalización". Phys. Rev . D24 : 691. Código Bibliográfico : 1981PhRvD..24..691H . doi : 10.1103 / PhysRevD.24.691 .

Lectura adicional

• Peskin, M y Schroeder, D .; Introducción a la teoría cuántica de campos, Westview Press (1995). Un texto introductorio estándar, que cubre muchos temas en QFT, incluido el cálculo de funciones beta; ver especialmente el capítulo 16.
• Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields, (3 volúmenes) Cambridge University Press (1995). Un tratado monumental sobre QFT.
• Zinn-Justin, Jean; Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos, Oxford University Press (2002). Énfasis en el grupo de renormalización y temas relacionados.

Enlaces externos