En matemáticas , una matriz anti-diagonal es una matriz cuadrada donde todas las entradas son cero excepto aquellas en la diagonal que van desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha (↗), conocida como anti-diagonal (a veces diagonal de Harrison, secundaria diagonal, diagonal final, diagonal menor o mala diagonal).
Definicion formal
Una matriz A n- por- n es una matriz anti-diagonal si el elemento ( i , j ) es cero
Ejemplo
Un ejemplo de una matriz anti-diagonal es
Propiedades
Todas las matrices anti-diagonales también son persimétricas .
El producto de dos matrices anti-diagonales es una matriz diagonal . Además, el producto de una matriz anti-diagonal con una matriz diagonal es anti-diagonal, al igual que el producto de una matriz diagonal con una matriz anti-diagonal.
Una matriz anti-diagonal es invertible si y solo si las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha son distintas de cero. La inversa de cualquier matriz anti-diagonal invertible también es anti-diagonal, como se puede ver en el párrafo anterior. El determinante de una matriz anti-diagonal tiene un valor absoluto dado por el producto de las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha. Sin embargo, el signo de este determinante variará porque el producto elemental con signo distinto de cero de una matriz anti-diagonal tendrá un signo diferente dependiendo de si la permutación relacionada con él es par o impar:
Tamaño de la matriz | Permutación para producto elemental distinto de cero de matriz anti-diagonal | Par o impar | Signo de producto elemental |
---|---|---|---|
2 × 2 | {2, 1} | Impar | - |
3 × 3 | {3, 2, 1} | Impar | - |
4 × 4 | {4, 3, 2, 1} | Incluso | + |
5 × 5 | {5, 4, 3, 2, 1} | Incluso | + |
6 × 6 | {6, 5, 4, 3, 2, 1} | Impar | - |
Más precisamente, el signo del producto elemental necesario para calcular el determinante de una matriz anti-diagonal está relacionado con si el número triangular correspondiente es par o impar. Esto se debe a que el número de inversiones en la permutación para el único producto elemental con signo distinto de cero de cualquier matriz anti-diagonal n × n es siempre igual al n- ésimo número.
Ver también
- Diagonal principal , todos los elementos fuera de la diagonal son cero en una matriz diagonal.
- Matriz de intercambio , una matriz anti-diagonal con unos a lo largo de la contra-diagonal.