Simetrización

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En matemáticas , la simetrización es un proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variables. Del mismo modo, anti-simetrización convierte cualquier función en n variables en un antisimétrica función.

Dos variables

Sea un conjunto y un grupo abeliano . Un mapa se llama simétrico si es para todos .${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)}$${\displaystyle s,t\in S}$

La simetrización de un mapa es el mapa .${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)}$

De manera similar, la anti-simetrización o sesgo-simetrización de un mapa es el mapa .${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)}$

La suma de la simetrización y la antisimetrización de un mapa α es 2 α . Por lo tanto, lejos de 2 , lo que significa que si 2 es invertible , como para los números reales , se puede dividir por 2 y expresar cada función como una suma de una función simétrica y una función antisimétrica.

La simetrización de un mapa simétrico es su doble, mientras que la simetrización de un mapa alterno es cero; de manera similar, la antisimetrización de un mapa simétrico es cero, mientras que la antisimetrización de un mapa antisimétrico es su doble.

Formas bilineales

La simetrización y antisimetrización de un mapa bilineal son bilineales; por lo tanto, lejos de 2, cada forma bilineal es una suma de una forma simétrica y una forma simétrica sesgada, y no hay diferencia entre una forma simétrica y una forma cuadrática.

En 2, no todas las formas se pueden descomponer en una forma simétrica y una forma sesgada simétrica. Por ejemplo, sobre los enteros , la forma simétrica asociada (sobre los racionales ) puede tomar valores medio enteros, mientras que sobre una función es simétrica sesgada si y solo si es simétrica (como 1 = −1 ). ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$

Esto conduce a la noción de formas ε-cuadráticas y formas ε-simétricas.

Teoría de la representación

En términos de teoría de la representación :

• el intercambio de variables da una representación del grupo simétrico en el espacio de funciones en dos variables,
• las funciones simétricas y antisimétricas son las subrepresentaciones correspondientes a la representación trivial y la representación del signo , y
• la simetrización y la antisimetrización mapean una función en estas subrepresentaciones; si se divide por 2, se obtienen mapas de proyección .

Como el grupo simétrico de orden dos es igual al grupo cíclico de orden dos ( ), esto corresponde a la transformada discreta de Fourier de orden dos.${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$

n variables

De manera más general, dada una función en n variables, uno puede simétrizar tomando la suma de todas las permutaciones de las variables, ^[1] o antisimetrizar tomando la suma de todas las permutaciones pares y restando la suma de todas las permutaciones impares (excepto que cuando n ≤ 1 , la única permutación es par).${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n!/2}$

Aquí, la simetrización de una función simétrica se multiplica por - por lo tanto, si es invertible, como cuando se trabaja sobre un campo de característica o , entonces estas producen proyecciones cuando se divide por .${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle p>n}$${\displaystyle n!}$

En términos de la teoría de la representación, estos solo producen las subrepresentaciones correspondientes a la representación trivial y de signo, pero hay otras, ver teoría de la representación del grupo simétrico y polinomios simétricos .${\displaystyle n>2}$

Bootstrapping

Dada una función en k variables de, se puede obtener una función simétrica en n variables de tomando la suma sobre k -elemento subconjuntos de las variables. En estadística, esto se conoce como arranque , y las estadísticas asociadas se llama U-estadísticas .

Notas

1. Hazewinkel (1990), p. 344

Referencias

• Hazewinkel, Michiel (1990). Enciclopedia de las matemáticas: una traducción actualizada y anotada de la "Enciclopedia matemática" soviética . Enciclopedia de Matemáticas. 6 . Saltador. ISBN 978-1-55608-005-0.