Símbolo Levi-Civita
En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , análisis tensorial y geometría diferencial , el símbolo de Levi-Civita representa una colección de números; definido a partir del signo de una permutación de los números naturales 1, 2, ..., n , por algún entero positivo n . Lleva el nombre del matemático y físico italiano Tullio Levi-Civita . Otros nombres incluyen el símbolo de permutación , el símbolo antisimétrico o el símbolo alterno , que se refieren a su forma antisimétrica . propiedad y definición en términos de permutaciones.
Las letras estándar para denotar el símbolo de Levi-Civita son la letra minúscula griega épsilon ε o ϵ , o menos comúnmente la letra minúscula latina e . La notación de índice permite mostrar las permutaciones de una manera compatible con el análisis tensorial:
donde cada índice i 1 , i 2 , ..., i n toma los valores 1, 2, ..., n . Hay n n valores indexados de ε i 1 i 2 ... i n , que se pueden organizar en una matriz de n dimensiones. La propiedad definitoria clave del símbolo es la antisimetría total en los índices. Cuando se intercambian dos índices cualesquiera, iguales o no, el símbolo se niega:
donde p (llamada la paridad de la permutación) es el número de intercambios por pares de índices necesarios para descifrar i 1 , i 2 , ..., i n en el orden 1, 2, ..., n , y el factor ( −1) p se llama el signo o signatura de la permutación. El valor ε 1 2 ... n debe definirse, de lo contrario, los valores particulares del símbolo para todas las permutaciones son indeterminados. La mayoría de los autores eligen ε 1 2 ... n = +1, lo que significa que el símbolo de Levi-Civita es igual al signo de una permutación cuando los índices son todos desiguales. Esta opción se utiliza a lo largo de este artículo.
El término " símbolo de Levi-Civita n -dimensional" se refiere al hecho de que el número de índices en el símbolo n coincide con la dimensionalidad del espacio vectorial en cuestión, que puede ser euclidiano o no euclidiano , por ejemplo, o espacio de Minkowski . Los valores del símbolo de Levi-Civita son independientes de cualquier tensor métrico y sistema de coordenadas . Además, el término específico "símbolo" enfatiza que no es un tensor debido a cómo se transforma entre sistemas de coordenadas; sin embargo, puede interpretarse como una densidad tensorial .
El símbolo de Levi-Civita permite que el determinante de una matriz cuadrada y el producto cruzado de dos vectores en el espacio euclidiano tridimensional se expresen en notación de índice de Einstein .
