En geometría diferencial , un tensor de densidad o relativo es una generalización del concepto de campo tensorial . Una densidad de tensor se transforma como un campo de tensor cuando pasa de un sistema de coordenadas a otro (ver campo de tensor ), excepto que además se multiplica o pondera por una potencia W del determinante jacobiano de la función de transición de coordenadas o su valor absoluto. Se hace una distinción entre densidades de tensor (auténticas), densidades de pseudotensor, densidades de tensor pares y densidades de tensor impares. A veces, las densidades de tensor con un peso negativo W se denominan capacidad de tensor.[1] [2] [3] Una densidad de tensor también se puede considerar como una sección del producto tensorial de un paquete de tensor con un paquete de densidad .
Motivación
En física y campos relacionados, a menudo es útil trabajar con los componentes de un objeto algebraico en lugar del objeto en sí. Un ejemplo sería descomponer un vector en una suma de vectores básicos ponderados por algunos coeficientes como
dónde es un vector en el espacio euclidiano tridimensional ,son los vectores de base estándar habituales en el espacio euclidiano. Esto suele ser necesario para fines computacionales y, a menudo, puede ser revelador cuando los objetos algebraicos representan abstracciones complejas pero sus componentes tienen interpretaciones concretas. Sin embargo, con esta identificación, uno debe tener cuidado de rastrear los cambios de la base subyacente en la que se expande la cantidad; en el curso de un cálculo puede resultar conveniente cambiar la base mientras el vectorpermanece fijo en el espacio físico. De manera más general, si un objeto algebraico representa un objeto geométrico, pero se expresa en términos de una base particular, entonces es necesario, cuando se cambia la base, también cambiar la representación. Los físicos a menudo llamarán tensor a esta representación de un objeto geométrico si se transforma bajo una secuencia de mapas lineales dado un cambio lineal de base (aunque, de manera confusa, otros llaman al objeto geométrico subyacente que no ha cambiado bajo la transformación de coordenadas un "tensor", una convención que este artículo evita estrictamente). En general, hay representaciones que se transforman de manera arbitraria dependiendo de cómo se reconstruya el invariante geométrico a partir de la representación. En ciertos casos especiales conviene utilizar representaciones que se transforman casi como tensores, pero con un factor adicional no lineal en la transformación. Un ejemplo prototípico es una matriz que representa el producto cruzado (área del paralelogramo expandido) en. La representación viene dada por en la base estándar por
Si ahora tratamos de expresar esta misma expresión en una base diferente a la base estándar, entonces los componentes de los vectores cambiarán, digamos de acuerdo con dónde es una matriz de 2 por 2 de números reales. Dado que el área del paralelogramo expandido es una invariante geométrica, no puede haber cambiado con el cambio de base, por lo que la nueva representación de esta matriz debe ser:
que, cuando se expande es solo la expresión original pero multiplicada por el determinante de , cual es también . De hecho, esta representación podría pensarse como una transformación de tensor de dos índices, pero en cambio, es computacionalmente más fácil pensar en la regla de transformación del tensor como una multiplicación por, en lugar de 2 multiplicaciones de matrices (de hecho, en dimensiones superiores, la extensión natural de esto es multiplicaciones de matrices, que para grandes es completamente inviable). Los objetos que se transforman de esta manera se denominan densidades tensoriales porque surgen de forma natural al considerar problemas de áreas y volúmenes, por lo que se utilizan con frecuencia en la integración.
Definición
Algunos autores clasifican las densidades de tensor en los dos tipos llamados densidades de tensor (auténticas) y densidades de pseudotensor en este artículo. Otros autores los clasifican de manera diferente, en los tipos denominados densidades de tensor pares y densidades de tensor impares. Cuando un peso de densidad tensorial es un número entero, existe una equivalencia entre estos enfoques que depende de si el número entero es par o impar.
Tenga en cuenta que estas clasificaciones aclaran las diferentes formas en que las densidades tensoriales pueden transformarse patológicamente en transformaciones de coordenadas de inversión de orientación . Independientemente de sus clasificaciones en estos tipos, solo hay una forma en que las densidades de los tensores se transforman bajo la orientación, conservando las transformaciones de coordenadas.
En este artículo hemos elegido la convención que asigna un peso de +2 al determinante del tensor métrico expresado con índices covariantes . Con esta elección, las densidades clásicas, como la densidad de carga, estarán representadas por densidades de tensor de peso +1. Algunos autores usan una convención de signos para pesos que es la negación de la que se presenta aquí. [4]
En contraste con el significado utilizado en este artículo, en la relatividad general " pseudotensor " a veces significa un objeto que no se transforma como un tensor o un tensor relativo de ningún peso.
Densidades de tensor y pseudotensor
Por ejemplo, una densidad de tensor mixto de rango dos (auténtico) de peso W se transforma como: [5] [6]
- ((auténtico) tensor de densidad de (entero) peso W )
dónde es la densidad del tensor de rango dos en el sistema coordinado, es la densidad del tensor transformada en el sistema coordinado; y usamos el determinante jacobiano . Debido a que el determinante puede ser negativo, que es para una transformación de coordenadas con inversión de orientación, esta fórmula es aplicable solo cuando W es un número entero. (Sin embargo, consulte las densidades de tensor pares e impares a continuación).
Decimos que una densidad de tensor es una densidad de pseudotensor cuando hay un cambio de signo adicional bajo una transformación de coordenadas de inversión de orientación. Una densidad de pseudotensor mixto de rango dos de peso W se transforma como
- (densidad del pseudotensor de (entero) peso W )
donde sgn () es una función que devuelve +1 cuando su argumento es positivo o −1 cuando su argumento es negativo.
Densidades de tensor pares e impares
Las transformaciones para densidades de tensor pares e impares tienen la ventaja de estar bien definidas incluso cuando W no es un número entero. Por tanto, se puede hablar de, digamos, una densidad tensorial impar de peso +2 o una densidad tensorial par de peso -1/2.
Cuando W es un número entero par, la fórmula anterior para una densidad de tensor (auténtica) se puede reescribir como
- (incluso densidad de tensor de peso W )
De manera similar, cuando W es un número entero impar, la fórmula para una densidad de tensor (auténtica) se puede reescribir como
- (densidad tensorial impar de peso W )
Pesos de cero y uno
Una densidad de tensor de cualquier tipo que tenga peso cero también se llama tensor absoluto . Una densidad tensorial (par) auténtica de peso cero también se denomina tensor ordinario .
Si no se especifica un peso, pero la palabra "relativa" o "densidad" se usa en un contexto donde se necesita un peso específico, generalmente se supone que el peso es +1.
Propiedades algebraicas
- Una combinación lineal (también conocida como suma ponderada ) de densidades de tensor del mismo tipo y peso W es nuevamente una densidad de tensor de ese tipo y peso.
- Un producto de dos densidades de tensor de cualquier tipo y con pesos W 1 y W 2 es una densidad de tensor de peso W 1 + W 2 .
- Un producto de densidades de tensor auténticas y densidades de pseudotensor será una densidad de tensor auténtica cuando un número par de factores sean densidades de pseudotensor; será una densidad de pseudotensor cuando un número impar de los factores sean densidades de pseudotensor. De manera similar, un producto de densidades de tensor pares y densidades de tensor impares será una densidad de tensor par cuando un número par de factores sean densidades de tensor impares; será una densidad de tensor impar cuando un número impar de los factores sean densidades de tensor impar.
- La contracción de los índices en una densidad tensor con el peso W se obtiene de nuevo una densidad tensor de peso W . [7]
- Usando (2) y (3) uno ve que subir y bajar índices usando el tensor métrico (ponderación 0) deja la ponderación sin cambios. [8]
Inversión matricial y determinante matricial de densidades de tensor
Si es una matriz no singular y una densidad tensorial de peso W de rango dos con índices covariantes, entonces su matriz inversa será una densidad de peso tensorial de rango dos - W con índices contravariantes. Se aplican declaraciones similares cuando los dos índices son contravariantes o se mezclan covariantes y contravariantes.
Si es un tensor de rango dos de densidad de peso W con índices covariantes, entonces el determinante de la matriztendrá un peso NW + 2 , donde N es el número de dimensiones espacio-temporales. Sies un tensor de rango dos de densidad de peso W con índices contravariantes, entonces el determinante de la matriztendrá peso NW - 2 . El determinante de la matriztendrá peso NW .
Relatividad general
Relación del determinante jacobiano y el tensor métrico
Cualquier tensor ordinario no singular se transforma como
donde el lado derecho puede verse como el producto de tres matrices. Tomando el determinante de ambos lados de la ecuación (usando que el determinante de un producto matricial es el producto de los determinantes), dividiendo ambos lados por, y tomando su raíz cuadrada da
Cuando el tensor T es el tensor métrico ,, y es un sistema de coordenadas localmente inercial donde diag (−1, + 1, + 1, + 1), la métrica de Minkowski , luego −1 y así
dónde es el determinante del tensor métrico .
Uso de tensor métrico para manipular densidades de tensor
En consecuencia, una densidad tensorial par, , de peso W , se puede escribir en la forma
dónde es un tensor ordinario. En un sistema de coordenadas localmente inercial, donde, será el caso que y se representará con los mismos números.
Cuando se usa la conexión métrica (conexión Levi-Civita ), la derivada covariante de una densidad de tensor par se define como
Para una conexión arbitraria, la derivada covariante se define agregando un término adicional, a saber
a la expresión que sería apropiada para la derivada covariante de un tensor ordinario.
De manera equivalente, se obedece la regla del producto
donde, para la conexión métrica, la derivada covariante de cualquier función de es siempre cero,
Ejemplos de
La expresion es una densidad escalar. Según la convención de este artículo, tiene un peso de +1.
La densidad de la corriente eléctrica. (p.ej, es la cantidad de carga eléctrica que atraviesa el elemento de 3 volúmenes dividido por ese elemento (no use la métrica en este cálculo) es una densidad de vector contravariante de peso +1. A menudo se escribe como o , dónde y la forma diferencial son tensores absolutos, y donde es el símbolo de Levi-Civita ; vea abajo.
La densidad de la fuerza de Lorentz ( es decir , el momento lineal transferido desde el campo electromagnético a la materia dentro de un elemento de 4 volúmenes dividido por ese elemento (no use la métrica en este cálculo) es una densidad de vector covariante de peso +1.
En el espacio-tiempo N -dimensional, el símbolo de Levi-Civita puede considerarse como una densidad tensorial auténtica covariante (impar) de rango N de peso −1 (ε α 1 ⋯ α N ) o una contravariante de rango N (impar) densidad tensorial auténtica de peso +1 (ε α 1 ⋯ α N ). Observe que el símbolo de Levi-Civita (así considerado) no obedece a la convención habitual para subir o bajar índices con el tensor métrico. Es decir, es cierto que
pero en relatividad general, donde es siempre negativo, esto nunca es igual a .
El determinante del tensor métrico,
es una densidad escalar auténtica (par) de peso +2.
Ver también
Notas
- ^ Weinreich, Gabriel (6 de julio de 1998). Vectores geométricos . págs. 112, 115. ISBN 978-0226890487.
- ^ Papastavridis, John G. (18 de diciembre de 1998). Cálculo tensorial y dinámica analítica . Prensa CRC . ISBN 978-0849385148.
- ^ Ruiz-Tolosa, Castillo, Juan R., Enrique (30 de marzo de 2006). De vectores a tensores . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3540228875.
- ^ Por ejemplo, Weinberg 1972 pp 98. La convención elegida implica en las fórmulas siguientes el determinante jacobiano de la transición inversa x → x , mientras que la convención opuesta considera la transición hacia adelante x → x que resulta en un cambio de signo del peso.
- ^ MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (2ª ed.). Nueva York: Schaum's Outline Series. pag. 198. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ CB Parker (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2ª ed.). pag. 1417 . ISBN 0-07-051400-3.
- ^ Weinberg 1972 p 100.
- ^ Weinberg 1972 p 100.
Referencias
- Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Vol I (3ª ed.), P. 134.
- Kuptsov, LP (2001) [1994], "Tensor Density" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Charles Misner ; Kip S Thorne y John Archibald Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman . pag. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología , John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5