En matemáticas , una función monótona (o función monótona ) es una función entre conjuntos ordenados que conserva o invierte el orden dado . [1] [2] [3] Este concepto surgió por primera vez en el cálculo y luego se generalizó al contexto más abstracto de la teoría del orden .
En cálculo , una función definida en un subconjunto de los números reales con valores reales se llama monótona si y solo si es completamente no creciente o completamente no decreciente. [2] Es decir, según la Fig. 1, una función que aumenta monótonamente no tiene que aumentar exclusivamente, simplemente no debe disminuir.
Una función se llama monotónicamente creciente (también creciente o no decreciente ), [3] si es para todos y tal que uno tiene , por lo que conserva el orden (ver Figura 1). Asimismo, una función se denomina monótonamente decreciente (también decreciente o no creciente ) [3] si, siempre que , entonces , invierte el orden (ver Figura 2).
Si el orden en la definición de monotonicidad se reemplaza por el orden estricto , se obtiene un requisito más fuerte. Una función con esta propiedad se llama estrictamente creciente (también creciente ). [3] [4] Nuevamente, al invertir el símbolo de orden, uno encuentra un concepto correspondiente llamado estrictamente decreciente (también decreciente ). [3] [4] Una función puede llamarse estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Las funciones que son estrictamente monótonas son una a una (porque para no es igual a , ya sea oy así, por monotonicidad, ya sea o , así .)
Si no está claro que "creciente" y "decreciente" se toman para incluir la posibilidad de repetir el mismo valor en argumentos sucesivos, se pueden usar los términos débilmente monótono , débilmente creciente y débilmente decreciente para enfatizar esta posibilidad.
Los términos "no decreciente" y "no creciente" no deben confundirse con las calificaciones negativas (mucho más débiles) de "no disminuir" y "no aumentar". Por ejemplo, la función de la figura 3 primero cae, luego aumenta y luego vuelve a caer. Por lo tanto, no disminuye ni aumenta, pero no disminuye ni aumenta.
Se dice que una función es absolutamente monótona durante un intervalo si las derivadas de todos los órdenes de son no negativas o todas no positivas en todos los puntos del intervalo.
Una función que es monótona, pero no estrictamente monótona y, por lo tanto, constante en un intervalo, no tiene inversa. Esto se debe a que para que una función tenga una inversa, es necesario que haya un mapeo uno a uno desde el rango al dominio de la función. Dado que una función monótona tiene algunos valores que son constantes en su dominio, esto significa que habría más de un valor en el rango que se asigna a este valor constante.
Sin embargo, una función y = g ( x ) que es estrictamente monótona, tiene una función inversa tal que x = h ( y ) porque se garantiza que siempre habrá un mapeo uno a uno del rango al dominio de la función. Además, se puede decir que una función es estrictamente monótona en un rango de valores y, por lo tanto, tiene una inversa en ese rango de valores. Por ejemplo, si y = g ( x ) es estrictamente monótono en el rango [ a , b ] , entonces tiene una inversa x = h ( y) en el rango [ g ( a ), g ( b )] , pero no podemos decir que todo el rango de la función tenga una inversa.
Tenga en cuenta que algunos libros de texto [ ¿cuáles? ] afirman erróneamente que existe una inversa para una función monótona, cuando en realidad significan que existe una inversa para una función estrictamente monótona.
El término transformación monótona (o transformación monótona ) también puede causar cierta confusión porque se refiere a una transformación por una función estrictamente creciente. Este es el caso en economía con respecto a las propiedades ordinales de una función de utilidad que se conserva a través de una transformada monótona (ver también preferencias monótonas ). [5] En este contexto, lo que llamamos una "transformación monótona" es, más precisamente, una "transformación monótona positiva", para distinguirla de una "transformación monótona negativa", que invierte el orden de los números. [6]
Las siguientes propiedades son verdaderas para una función monótona :
Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el trabajo técnico en análisis . Algunos datos más sobre estas funciones son:
Una aplicación importante de las funciones monótonas es la teoría de la probabilidad . Si es una variable aleatoria , su función de distribución acumulativa es una función que aumenta monótonamente.
Una función es unimodal si aumenta monótonamente hasta algún punto (la moda ) y luego disminuye monótonamente.
Cuando es una función estrictamente monótona , entonces es inyectiva en su dominio, y si es el rango de , entonces hay una función inversa en para . En contraste, cada función constante es monótona, pero no inyectiva, [7] y por lo tanto no puede tener una inversa.
Se dice que un mapa es monótono si cada una de sus fibras está conectada; es decir, para cada elemento en el conjunto (posiblemente vacío) está conectado.
En el análisis funcional en un espacio vectorial topológico , se dice que un operador (posiblemente no lineal) es un operador monótono si
El teorema de Kachurovskii muestra que las funciones convexas en los espacios de Banach tienen operadores monótonos como derivados.
Se dice que un subconjunto de es un conjunto monótono si para cada par y en ,
Se dice que es monótono máximo si es máximo entre todos los conjuntos monótonos en el sentido de inclusión de conjuntos. El gráfico de un operador monótono es un conjunto monótono. Se dice que un operador monótono es monótono máximo si su gráfico es un conjunto monótono máximo .
La teoría del orden trata con conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados y conjuntos preordenados como una generalización de números reales. La definición anterior de monotonicidad también es relevante en estos casos. Sin embargo, se evitan los términos "creciente" y "decreciente", ya que su representación pictórica convencional no se aplica a órdenes que no son totales . Además, las relaciones estrictas <y> son de poca utilidad en muchos órdenes no totales y, por tanto, no se introduce ninguna terminología adicional para ellos.
Dejando ≤ denotar la relación de orden parcial de cualquier conjunto parcialmente ordenado, una función monótona , también llamada isotona , oconservando el orden , satisface la propiedad
para toda x y y en su dominio. La combinación de dos asignaciones monótonas también es monótona.
La noción dual a menudo se llama antitono , anti-monótono o de orden inverso . Por tanto, una función antitono f satisface la propiedad
para toda x y y en su dominio.
Una función constante es tanto monótona como antitónica; a la inversa, si f es tanto monótono como antitono, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.
Las funciones monótonas son fundamentales en la teoría del orden. Aparecen en la mayoría de los artículos sobre el tema y en estos lugares se encuentran ejemplos de aplicaciones especiales. Algunas funciones monótonas especiales notables son incrustaciones de orden (funciones para las cuales x ≤ y si y solo si f ( x ) ≤ f ( y )) e isomorfismos de orden ( incrustaciones de orden sobreyectiva ).
En el contexto de los algoritmos de búsqueda, la monotonicidad (también llamada coherencia) es una condición que se aplica a las funciones heurísticas . Una heurística h (n) es monótona si, para cada nodo n y cada sucesor n ' de n generado por cualquier acción a , el costo estimado de alcanzar la meta desde n no es mayor que el costo de paso de llegar an' más el costo estimado de alcanzar la meta de n ' ,
Esta es una forma de desigualdad triangular , con n , n ' y el objetivo G n más cercano a n . Dado que toda heurística monótona también es admisible , la monotonicidad es un requisito más estricto que la admisibilidad. Se puede demostrar que algunos algoritmos heurísticos como A * son óptimos siempre que la heurística que utilicen sea monótona. [8]
En álgebra de Boole , una función monótona es una tal que para todo a i y b i en {0,1}, si a 1 ≤ b 1 , a 2 ≤ b 2 , ..., a n ≤ b n (es decir, el El producto cartesiano {0, 1} n está ordenado por coordenadas ), entonces f ( a 1 , ..., a n ) ≤ f ( b 1 , ..., b n ). En otras palabras, una función booleana es monótona si, para cada combinación de entradas, cambiar una de las entradas de falso a verdadero solo puede hacer que la salida cambie de falso a verdadero y no de verdadero a falso. Gráficamente, esto significa que una función booleana n -ary es monótona cuando su representación como un n -cube etiquetado con valores de verdad no tiene un borde ascendente de verdadero a falso . (Este diagrama de Hasse etiquetado es el dual del diagrama de Venn etiquetado de la función , que es la representación más común para n ≤ 3 ).
Las funciones booleanas monótonas son precisamente los que se puede definir por una expresión que combina las entradas (que pueden aparecer más de una vez) usando sólo los operadores y y o (en particular, no está prohibido). Por ejemplo, "al menos dos de a , b , c se mantienen" es una función monótona de a , b , c , ya que se puede escribir, por ejemplo, como (( a y b ) o ( a y c ) o ( b y c )).
El número de tales funciones en n variables se conoce como el número de Dedekind de n .