En matemáticas , una transformación antiunitaria , es un mapa biyectivo antilineal
entre dos espacios de Hilbert complejos de tal manera que
para todos y en , donde la barra horizontal representa el conjugado complejo . Si adicionalmente uno tieneentonces U se denomina operador antiunitario .
Los operadores antiunitarios son importantes en la teoría cuántica porque se utilizan para representar ciertas simetrías, como la inversión del tiempo . [1] Su importancia fundamental en la física cuántica se demuestra aún más mediante el teorema de Wigner .
Transformaciones de invariancia
En mecánica cuántica , las transformaciones de invariancia del complejo espacio de Hilbert deje invariante el valor absoluto del producto escalar:
para todos y en .
Debido al teorema de Wigner, estas transformaciones se dividen en dos categorías, pueden ser unitarias o antiunitarias.
Interpretación geométrica
Las congruencias del plano forman dos clases distintas. El primero conserva la orientación y se genera mediante traslaciones y rotaciones. El segundo no conserva la orientación y se obtiene de la primera clase aplicando una reflexión. En el plano complejo, estas dos clases corresponden (hasta la traducción) a los unitarios y antiunitarios, respectivamente.
Propiedades
- se mantiene para todos los elementos del espacio Hilbert y un antiunitario .
- Cuándo es antiunitario entonces es unitario. Esto se sigue de
- Para operador unitario el operador , dónde Es un operador conjugado complejo, es antiunitario. Lo contrario también es cierto, para antiunitarios el operador es unitario.
- Para antiunitario la definición del operador adjunto se cambia para compensar la conjugación compleja, convirtiéndose en
- .
- El adjunto de un antiunitario también es antiunitario y
- (Esto no debe confundirse con la definición de operadores unitarios , ya que el operador antiunitario no es lineal complejo.)
Ejemplos de
- El operador conjugado complejo es un operador antiunitario en el plano complejo.
- El operador
Descomposición de un operador antiunitario en una suma directa de antiunitarios elementales de Wigner
Un operador antiunitario en un espacio de dimensión finita puede descomponerse como una suma directa de antiunitarios elementales de Wigner , . El operador es una simple conjugación compleja en
Para , el operador actúa sobre el espacio de Hilbert complejo bidimensional. Está definido por
Tenga en cuenta que para
así como no puede descomponerse más en 's, que cuadran con el mapa de identidad.
Tenga en cuenta que la descomposición anterior de operadores antiunitarios contrasta con la descomposición espectral de operadores unitarios. En particular, un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo puede descomponerse en una suma directa de unitarios que actúan sobre espacios complejos unidimensionales (eigenspaces), pero un operador antiunitario solo puede descomponerse en una suma directa de operadores elementales en 1- y Espacios complejos bidimensionales.
Referencias
- ^ Peskin, Michael Edward (2019). Introducción a la teoría cuántica de campos . Daniel V. Schroeder. Boca Ratón. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398 .
- Wigner, E. "Forma normal de operadores antiunitarios", Journal of Mathematical Physics Vol 1, no 5, 1960, págs. 409–412
- Wigner, E. "Distinción fenomenológica entre operadores de simetría unitaria y antiunitaria", Journal of Mathematical Physics Vol1, no5, 1960, pp.414–416