El teorema de Wigner , probado por Eugene Wigner en 1931, [2] es una piedra angular de la formulación matemática de la mecánica cuántica . El teorema especifica cómo se representan las simetrías físicas como rotaciones, traslaciones y CPT en el espacio de estados de Hilbert .
Según el teorema, cualquier transformación de simetría del espacio de rayos está representada por una transformación unitaria o antiunitaria del espacio de Hilbert. La representación de un grupo de simetría en el espacio de Hilbert es una representación ordinaria o una representación proyectiva .
Rayos y espacio de rayos
Es un postulado de la mecánica cuántica que los vectores en el espacio de Hilbert que son múltiplos escalares distintos de cero entre sí representan el mismo estado puro . Un rayo perteneciente al vector.es un conjunto [3] [4]
y un rayo cuyos vectores tienen una norma unitaria se llama rayo unitario . Si Φ ∈ Ψ , entonces Φ es un representante de Ψ . Existe una correspondencia biunívoca entre los estados físicos puros y los rayos unitarios. [nb 1] El espacio de todos los rayos se llama espacio de rayos .
Formalmente, [5] si H es un espacio de Hilbert complejo, entonces sea B el subconjunto
de vectores con norma unitaria. Si H es de dimensión finita con dimensión compleja N , entonces B (como variedad ) tiene dimensión real 2 N - 1 . Defina una relación ≅ en B por
La relación ≅ es una relación de equivalencia en el conjunto B . El espacio de rayos unitarios , S , se define como el conjunto de clases de equivalencia
Si N es finito, S tiene una dimensión real 2 N - 2, por lo tanto, una dimensión compleja N - 1 . De manera equivalente para estos propósitos, se puede definir ≈ en H por
donde ℂ \ {0} es el conjunto de números complejos distintos de cero, y el conjunto
Esta definición deja en claro que el espacio de rayos unitarios es un espacio proyectivo de Hilbert . También es posible omitir la normalización y tomar el espacio del rayo como [6]
donde ≅ ahora se define en todo H por la misma fórmula. La dimensión real de R es 2 N - 1 si N es finito. Este enfoque se utiliza en la secuela. La diferencia entre R y S es bastante trivial, y el paso entre los dos se efectúa multiplicando los rayos por un número real distinto de cero , definido como el rayo generado por cualquier representante del rayo multiplicado por el número real.
A veces es incómodo trabajar con el espacio de rayos. Por ejemplo, no es un espacio vectorial con combinaciones lineales de rayos bien definidas. Pero una transformación de un sistema físico es una transformación de estados, por lo tanto matemáticamente una transformación del espacio de rayos. En mecánica cuántica, una transformación de un sistema físico da lugar a una transformación biyectiva de rayos unitarios T del espacio de rayos unitarios,
El conjunto de todas las transformaciones de rayos de la unidad es, pues, el grupo de la permutación en S . No todas estas transformaciones son admisibles como transformaciones de simetría que se describen a continuación. Una transformación de rayo unitario puede extenderse a R mediante la multiplicación con reales descrita anteriormente según [7]
Para mantener la notación uniforme, llame a esto una transformación de rayo . Esta distinción terminológica no se hace en la literatura, pero es necesaria aquí ya que ambas posibilidades están cubiertas mientras que en la literatura se elige una posibilidad.
Transformaciones de simetría
Hablando libremente, una transformación de simetría es un cambio en el que "no pasa nada" [8] o un "cambio de nuestra visión" [9] que no cambia los resultados de posibles experimentos. Por ejemplo, traducir un sistema en un entorno homogéneo no debería tener ningún efecto cualitativo en los resultados de los experimentos realizados en el sistema. Asimismo, para rotar un sistema en un entorno isotrópico . Esto se vuelve aún más claro cuando se consideran las transformaciones pasivas matemáticamente equivalentes , es decir, simplemente cambios de coordenadas y dejar que el sistema sea. Por lo general, los espacios de Hilbert de dominio y rango son los mismos. Una excepción sería (en una teoría no relativista) el espacio de Hilbert de estados de electrones que está sujeto a una transformación de conjugación de carga . En este caso, los estados de los electrones se asignan al espacio de Hilbert de los estados de positrones y viceversa. Para hacer esto preciso, introduzca el producto de rayos ,
donde (,) es el producto interno del espacio de Hilbert , y Ψ, Φ son elementos normalizados de este espacio. Una transformación de rayos sobreyectiva T : R → R ' se llama transformación de simetría si [10]
También se puede definir en términos de espacio de rayo unitario; es decir, T : S → S ' sin otros cambios. [11] [12] En este caso, a veces se le llama automorfismo de Wigner . Luego se puede extender a R mediante la multiplicación por reales como se describió anteriormente. En particular, los rayos unitarios se llevan a rayos unitarios. El significado de esta definición es que se conservan las probabilidades de transición . En particular, la regla de Born , otro postulado de la mecánica cuántica, predecirá las mismas probabilidades en los sistemas transformados y no transformados,
De las definiciones se desprende claramente que esto es independiente de los representantes de los rayos elegidos.
Grupos de simetría
Algunos datos sobre las transformaciones de simetría que se pueden verificar usando la definición:
- El producto de dos transformaciones de simetría, es decir, dos transformaciones de simetría aplicadas en sucesión, es una transformación de simetría.
- Cualquier transformación de simetría tiene una inversa.
- La transformación de identidad es una transformación de simetría.
- La multiplicación de transformaciones de simetría es asociativa.
El conjunto de transformaciones de simetría forma así un grupo , el grupo de simetría del sistema. Algunos subgrupos importantes que ocurren con frecuencia en el grupo de simetría de un sistema son realizaciones de
- El grupo simétrico con sus subgrupos. Esto es importante en el intercambio de etiquetas de partículas.
- El grupo de Poincaré . Codifica las simetrías fundamentales del espacio-tiempo .
- Grupos de simetría interna como SU (2) y SU (3) . Describen las llamadas simetrías internas , como isospin y carga de color peculiar de los sistemas mecánicos cuánticos.
Estos grupos también se conocen como grupos de simetría del sistema.
Declaración del teorema de Wigner
Preliminares
Se necesitan algunas definiciones preliminares para enunciar el teorema. Una transformación U del espacio de Hilbert es unitaria si
y una transformación A es antiunitaria si
Un operador unitario es automáticamente lineal . Asimismo, una transformación antiunitaria es necesariamente antilineal . [nb 2] Ambas variantes son lineales reales y aditivas.
Dada una transformación unitaria U del espacio de Hilbert, defina
Esta es una transformación de simetría ya que
De la misma manera, una transformación antiunitaria del espacio de Hilbert induce una transformación de simetría. Se dice que una transformación U del espacio de Hilbert es compatible con la transformación T del espacio de rayos si para todo Ψ , [11]
o equivalente
Las transformaciones del espacio de Hilbert mediante una transformación lineal unitaria o un operador antilineal antiunitario son obviamente compatibles con las transformaciones o el espacio de rayos que inducen como se describe.
Declaración
El teorema de Wigner establece una inversa de lo anterior: [13]
- Teorema de Wigner (1931): Si H y K son espacios de Hilbert y si
- es una transformación de simetría, entonces existe una transformación V : H → K que es compatible con T y tal que V es unitario o antiunitario si dim H ≥ 2 . Si dim H = 1 existe una transformación unitaria T : H → K y una transformación antiunitary A : H → K , tanto compatible con T .
Las pruebas se pueden encontrar en Wigner ( 1931 , 1959 ), Bargmann (1964) y Weinberg (2002) .
Las transformaciones antiunitarias y antilineales son menos prominentes en física. Todos están relacionados con una inversión de la dirección del flujo del tiempo. [14]
Representaciones y representaciones proyectivas
Una transformación compatible con una transformación de simetría no es única. Uno tiene lo siguiente (las transformaciones aditivas incluyen transformaciones lineales y antilineales). [15] [16]
- Teorema: Si U y V son dos transformaciones aditivas de H en K , ambas compatibles con la transformación de rayos T con dim H ≥ 2 , entonces
La importancia de este teorema es que especifica el grado de singularidad de la representación en H . A primera vista, uno podría creer que
sería admisible, con α ( h ) ≠ α ( k ) para ⟨h | k⟩ = 0 , pero este no es el caso según el teorema. [nb 3] Si G es un grupo de simetría (en este último sentido de estar incrustado como un subgrupo del grupo de simetría del sistema que actúa sobre el espacio de rayos), y si f , g , h ∈ G con fg = h , entonces
donde T son transformaciones de rayos. Desde el último teorema, se tiene para los representantes compatibles U ,
donde ω ( f , g ) es un factor de fase. [nb 4]
La función ω se llama multiplicador de 2 ciclos o de Schur . Un mapa U : G → GL ( V ) que satisface la relación anterior para algún espacio vectorial V se denomina representación proyectiva o representación de rayos . Si ω ( f , g ) = 1 , entonces se llama representación .
Cabe señalar que la terminología difiere entre matemáticas y física. En el artículo vinculado, el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente, pero el término tal como se presenta aquí entra como un ingrediente y las matemáticas per se son, por supuesto, las mismas. Si la realización del grupo de simetría, g → T ( g ) , se da en términos de acción en el espacio de rayos unitarios S = PH , entonces es una representación proyectiva G → PGL ( H ) en el sentido matemático, mientras que su representante en el espacio de Hilbert es una representación proyectiva G → GL ( H ) en el sentido físico.
Aplicando la última relación (varias veces) al producto fgh y apelando a la asociatividad conocida de la multiplicación de operadores en H , se encuentra
También satisfacen
Tras la redefinición de las fases,
que está permitido por el último teorema, se encuentra [17] [18]
donde las cantidades sombreadas se definen por
Utilidad de la libertad de fase
Los siguientes teoremas bastante técnicos y muchos más se pueden encontrar, con demostraciones accesibles, en Bargmann (1954) .
La libertad de elección de fases se puede utilizar para simplificar los factores de fase. Para algunos grupos, la fase se puede eliminar por completo.
- Teorema: Si G es semisimple y está simplemente conectado, entonces ω ( g , h ) = 1 es posible . [19]
En el caso del grupo de Lorentz y su subgrupo el grupo de rotación SO (3) , las fases pueden, para representaciones proyectivas, elegirse de tal manera que ω ( g , h ) = ± 1 . Para sus respectivos grupos de cobertura universal , SL (2, C) y Spin (3) , según el teorema es posible tener ω ( g , h ) = 1 , es decir, son representaciones propias.
El estudio de la redefinición de fases implica la cohomología grupal . Se dice que dos funciones relacionadas como las versiones con y sin sombrero de ω anteriores son cohomólogas . Pertenecen a la misma segunda clase del cohomology , es decir, son representados por el mismo elemento en H 2 ( G ) , el segundo grupo cohomology de G . Si un elemento de H 2 ( G ) contiene la función trivial ω = 0 , entonces se dice que es trivial . [18] El tema también se puede estudiar a nivel de álgebras de Lie y cohomología de álgebra de Lie . [20] [21]
Suponiendo que la representación proyectiva g → T ( g ) es débilmente continua, se pueden enunciar dos teoremas relevantes. Una consecuencia inmediata de la continuidad (débil) es que el componente de identidad está representado por operadores unitarios. [nb 5]
- Teorema: (Wigner 1939). La libertad de fase se puede utilizar de manera que en alguna vecindad de la identidad el mapa g → U ( g ) sea fuertemente continuo. [22]
- Teorema (Bargmann). En una vecindad suficientemente pequeña de e, la elección ω ( g 1 , g 2 ) ≡ 1 es posible para grupos de Lie semisimplejos (como SO ( n ) , SO (3,1) y grupos lineales afines, (en particular, el Poincaré Más precisamente, este es exactamente el caso cuando el segundo grupo de cohomología H 2 ( g , ℝ) del álgebra de Lie g de G es trivial . [22]
Ver también
- Física de partículas y teoría de la representación
Observaciones
- ^ Aquíse ignorala posibilidad de reglas de superselección . Puede darse el caso de que un sistema no se pueda preparar en estados específicos. Por ejemplo, generalmente se cree que es imposible la superposición de estados con espín diferente. Asimismo, los estados que son superposiciones de estados con diferente carga se consideran imposibles. Las complicaciones menores debidas a esos problemas se tratan en Bogoliubov, Logunov y Todorov (1975).
- ^ Bäurle & de Kerf (1999 , p. 342) Esto se afirma pero no se prueba.
- ^ Hay una excepción a esto. Si está en vigor una regla de superselección, entonces la fase puede depender de en qué sector de H h reside, ver Weinberg 2002 , p. 53
- ^ Nuevamente hay una excepción. Si una regla de superselección está en vigor, entonces la fase puede depender de en qué sector de H h reside sobre el cual actúan los operadores, ver Weinberg 2002 , p. 53
- ^ Esto se hace plausible de la siguiente manera. En un vecindario abierto en las proximidades de la identidad, todos los operadores pueden expresarse como cuadrados. Sea un operador unitario o antiunitario, su cuadrado es unitario. Por tanto, todos son unitarios en un barrio suficientemente pequeño. Un barrio así genera la identidad.
Notas
- ^ Seitz, Vogt y Weinberg 2000
- ^ Wigner 1931 , págs. 251-254 (en alemán),
Wigner 1959 , págs. 233-236 (traducción al inglés). - ^ Weinberg 2002 , p. 49
- ^ Bäuerle y de Kerf 1999 , p. 341
- ^ Simon y col. 2008
- ^ Este enfoque se utiliza en Bargmann 1964 , que sirve como referencia básica para el esquema de prueba que se presenta a continuación.
- ^ Bauerle y de Kerf 1999 , p. 341R para empezar, lo que significa que no es necesariamente biyectivo en S (es decir, no necesariamente preserva la norma). Esto no es importante ya que de todos modos solo son de interés las transformaciones de simetría. define transformaciones generales de rayos en
- ↑ de Kerf y Bäuerle, 1999
- ^ Weinberg 2002 , p. 50
- ↑ de Kerf y Van Groesen , 1999 , p. 342
- ↑ a b Bargmann, 1964
- ^ Wigner, 1931
- ↑ de Kerf y Van Groesen , 1999 , p. 343
- ^ Weinberg 2002 , p. 51
- ↑ Esto se demuestra en detalle en Bargmann 1964 .
- ↑ de Kerf y Van Groesen , 1999 , p. 344 Esto se afirma pero no se prueba.
- ↑ de Kerf y Van Groesen , 1999 , p. 346 Hay un error en esta fórmula en el libro.
- ↑ a b Weinberg , 2002 , p. 82
- ^ Weinberg 2002 , Apéndice B, Capítulo 2
- ^ Bäurle y de Kerf 1999 , págs. 347–349
- ^ Weinberg 2002 , sección 2.7.
- ↑ a b Straumann 2014
Referencias
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- Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, IT (1975). Introducción a la teoría cuántica de campos axiomáticos . Serie de monografías de física matemática. 18 . Traducido al inglés por Stephan A. Fulling y Ludmila G. Popova. Nueva York: Benjamin. ASIN B000IM4HLS .
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Otras lecturas
- Mouchet, Amaury (2013). "Una prueba alternativa del teorema de Wigner sobre transformaciones cuánticas basada en análisis complejo elemental". Physics Letters A . 377 (39): 2709–2711. arXiv : 1304.1376 . Código bibliográfico : 2013PhLA..377.2709M . doi : 10.1016 / j.physleta.2013.08.017 . S2CID 42994708 .
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