Existe una conexión natural entre la física de partículas y la teoría de la representación , como lo señaló por primera vez Eugene Wigner en la década de 1930 . [1] Vincula las propiedades de las partículas elementales con la estructura de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Según esta conexión, los diferentes estados cuánticos de una partícula elemental dan lugar a una representación irreductible del grupo de Poincaré . Además, las propiedades de las diversas partículas, incluidos sus espectros, puede relacionarse con representaciones de álgebras de Lie, correspondientes a "simetrías aproximadas" del universo.
Imagen general
Simetrías de un sistema cuántico
En mecánica cuántica , cualquier estado particular de una partícula se representa como un vector en un espacio de Hilbert. . Para ayudar a comprender qué tipos de partículas pueden existir, es importante clasificar las posibilidades depermitido por las simetrías , y sus propiedades. Dejar ser un espacio de Hilbert que describe un sistema cuántico particular y dejar ser un grupo de simetrías del sistema cuántico. En un sistema cuántico relativista, por ejemplo,podría ser el grupo de Poincaré , mientras que para el átomo de hidrógeno,podría ser el grupo de rotación SO (3) . El estado de partícula se caracteriza más precisamente por el espacio proyectivo asociado de Hilbert , también llamado espacio de rayos , ya que dos vectores que difieren por un factor escalar distinto de cero corresponden al mismo estado cuántico físico representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es una clase de equivalencia en y, bajo el mapa de proyección natural , un elemento de .
Por definición de una simetría de un sistema cuántico, hay una acción de grupo en. Para cada, hay una transformación correspondiente de . Más específicamente, si es alguna simetría del sistema (digamos, rotación alrededor del eje x en 12 °), luego la transformación correspondiente de es un mapa del espacio de rayos. Por ejemplo, al rotar una partícula de spin-5 estacionaria (momento cero) alrededor de su centro, es una rotación en el espacio 3D (un elemento de ), tiempo es un operador cuyo dominio y rango son cada uno el espacio de posibles estados cuánticos de esta partícula, en este ejemplo el espacio proyectivo asociado con un espacio de Hilbert complejo de 11 dimensiones .
Cada mapa conserva, por definición de simetría, el producto de rayos en inducida por el producto interno en ; según el teorema de Wigner , esta transformación de proviene de una transformación unitaria o anti-unitaria de . Sin embargo, tenga en cuenta que el asociado a un dado no es único, sino único hasta un factor de fase . La composición de los operadores debe, por tanto, reflejar la ley de composición en , pero solo hasta un factor de fase:
- ,
dónde Dependerá de y . Por lo tanto, el mapa que envía a es una representación unitaria proyectiva de, o posiblemente una mezcla de unitario y anti-unitario, si está desconectado. En la práctica, los operadores anti-unitarios siempre están asociados con la simetría de inversión del tiempo .
Representaciones ordinarias versus proyectivas
Es importante físicamente que en general no tiene que ser una representación ordinaria de ; Puede que no sea posible elegir los factores de fase en la definición depara eliminar los factores de fase en su ley de composición. Un electrón, por ejemplo, es una media partícula de espín; su espacio de Hilbert consta de funciones de onda encon valores en un espacio de espinor bidimensional. La acción de en el espacio de espinor es sólo proyectiva: no proviene de una representación ordinaria de . Sin embargo, existe una representación ordinaria asociada de la cubierta universal. de en el espacio spinor. [2]
Para muchas clases interesantes de grupos. , El teorema de Bargmann nos dice que toda representación unitaria proyectiva de proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal de . De hecho, si es de dimensión finita, entonces, independientemente del grupo , toda representación unitaria proyectiva de proviene de una representación unitaria ordinaria de . [3] Si es de dimensión infinita, entonces para obtener la conclusión deseada, se deben hacer algunas suposiciones algebraicas en (vea abajo). En este contexto, el resultado es un teorema de Bargmann . [4] Afortunadamente, en el caso crucial del grupo de Poincaré, se aplica el teorema de Bargmann. [5] (Ver clasificación de Wigner de las representaciones de la portada universal del grupo Poincaré).
El requisito mencionado anteriormente es que el álgebra de Lie no admite una extensión central unidimensional no trivial. Este es el caso si y solo si el segundo grupo de cohomología dees trivial. En este caso, aún puede ser cierto que el grupo admita una extensión central por parte de un grupo discreto . Pero extensiones de por grupos discretos son portadas de . Por ejemplo, la funda universal está relacionado con a través del cociente con el subgrupo central siendo el centro de sí mismo, isomorfo al grupo fundamental del grupo cubierto.
Así, en casos favorables, el sistema cuántico llevará una representación unitaria de la cobertura universal. del grupo de simetría . Esto es deseable porque es mucho más fácil trabajar con él que el espacio no vectorial . Si las representaciones de se puede clasificar, mucha más información sobre las posibilidades y propiedades de están disponibles.
El caso Heisenberg
Un ejemplo en el que no se aplica el teorema de Bargmann proviene de una partícula cuántica que se mueve en . El grupo de simetrías traslacionales del espacio de fase asociado,, es el grupo conmutativo . En la imagen habitual de la mecánica cuántica, el La simetría no se implementa mediante una representación unitaria de . Después de todo, en el entorno cuántico, las traslaciones en el espacio de posición y las traslaciones en el espacio de momento no se conmutan. Esta falta de conmutación refleja la falta de conmutación de los operadores de posición e impulso, que son los generadores infinitesimales de traslaciones en el espacio de impulso y el espacio de posición, respectivamente. Sin embargo, en el espacio traducciones posición y traducciones en el espacio de momentos Do conmutan hasta un factor de fase. Así, tenemos una representación proyectiva bien definida de, pero no proviene de una representación ordinaria de , aunque está simplemente conectado.
En este caso, para obtener una representación ordinaria, uno tiene que pasar al grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional no trivial de.
Grupo Poincaré
El grupo de traducciones y transformaciones de Lorentz forman el grupo de Poincaré , y este grupo debería ser una simetría de un sistema cuántico relativista (despreciando los efectos de la relatividad general , o en otras palabras, en el espacio plano ). Las representaciones del grupo de Poincaré se caracterizan en muchos casos por una masa no negativa y un giro medio entero (véase la clasificación de Wigner ); esto se puede considerar como la razón por la que las partículas tienen espín cuantificado. (Tenga en cuenta que, de hecho, hay otras posibles representaciones, como taquiones , infrapartículas , etc., que en algunos casos no tienen espín cuantificado o masa fija).
Otras simetrías
Si bien las simetrías del espacio-tiempo en el grupo de Poincaré son particularmente fáciles de visualizar y creer, también existen otros tipos de simetrías, llamadas simetrías internas . Un ejemplo es el color SU (3) , una simetría exacta correspondiente al intercambio continuo de los tres colores de quark .
Álgebras de Lie versus grupos de Lie
Muchas (pero no todas) simetrías o simetrías aproximadas forman grupos de Lie . En lugar de estudiar la teoría de la representación de estos grupos de Lie, a menudo es preferible estudiar la teoría de la representación estrechamente relacionada de las álgebras de Lie correspondientes, que suelen ser más sencillas de calcular.
Ahora, las representaciones del álgebra de Lie corresponden a representaciones de la cobertura universal del grupo original. [6] En el caso de dimensión finita —y en el caso de dimensión infinita, siempre que se aplique el teorema de Bargmann—, las representaciones proyectivas irreductibles del grupo original corresponden a representaciones unitarias ordinarias de la cobertura universal. En esos casos, la computación al nivel de álgebra de Lie es apropiada. Este es el caso, en particular, del estudio de las representaciones proyectivas irreductibles del grupo de rotación SO (3). Estos están en correspondencia uno a uno con las representaciones ordinarias de la cobertura universal SU (2) de SO (3) . Las representaciones del SU (2) están entonces en correspondencia biunívoca con las representaciones de su álgebra de Lie su (2), que es isomorfa al álgebra de Lie entonces (3) de SO (3).
Así, para resumir, las representaciones proyectivas irreductibles de SO (3) están en correspondencia biunívoca con las representaciones ordinarias irreductibles de su álgebra de Lie así (3). La representación bidimensional de "espín 1/2" del álgebra de Lie (3), por ejemplo, no corresponde a una representación ordinaria (de un solo valor) del grupo SO (3). (Este hecho es el origen de declaraciones en el sentido de que "si gira la función de onda de un electrón 360 grados, obtiene el negativo de la función de onda original"). Sin embargo, la representación de espín 1/2 da lugar a una representación proyectiva bien definida de SO (3), que es todo lo que se requiere físicamente.
Simetrías aproximadas
Aunque se cree que las simetrías anteriores son exactas, otras simetrías son solo aproximadas.
Ejemplo hipotético
Como ejemplo de lo que significa una simetría aproximada, suponga que un experimentalista viviera dentro de un ferromaimán infinito , con magnetización en alguna dirección particular. El experimentalista en esta situación encontraría no uno sino dos tipos distintos de electrones: uno con espín en la dirección de magnetización, con una energía ligeramente menor (y en consecuencia, una masa menor), y otro con espín anti-alineado, con un mayor masa. Nuestra simetría rotacional SO (3) habitual, que normalmente conecta el electrón de spin-up con el electrón de spin-down, se ha convertido en este caso hipotético sólo en una simetría aproximada , relacionando diferentes tipos de partículas entre sí.
Definición general
En general, una simetría aproximada surge cuando hay interacciones muy fuertes que obedecen a esa simetría, junto con interacciones más débiles que no lo hacen. En el ejemplo de electrones anterior, los dos "tipos" de electrones se comportan de manera idéntica bajo las fuerzas fuertes y débiles , pero de manera diferente bajo la fuerza electromagnética .
Ejemplo: simetría isospin
Un ejemplo del mundo real es la simetría isospin , un grupo SU (2) correspondiente a la similitud entre quarks up y quarks down . Esta es una simetría aproximada: mientras que los quarks arriba y abajo son idénticos en la forma en que interactúan bajo la fuerza fuerte , tienen diferentes masas y diferentes interacciones electrodébiles. Matemáticamente, hay un espacio vectorial bidimensional abstracto
y las leyes de la física son aproximadamente invariantes al aplicar una transformación unitaria de determinante-1 a este espacio: [7]
Por ejemplo, convertiría todos los quarks ascendentes del universo en quarks descendentes y viceversa. Algunos ejemplos ayudan a aclarar los posibles efectos de estas transformaciones:
- Cuando estas transformaciones unitarias se aplican a un protón , se puede transformar en un neutrón o en una superposición de un protón y un neutrón, pero no en otras partículas. Por tanto, las transformaciones mueven el protón alrededor de un espacio bidimensional de estados cuánticos. El protón y el neutrón se denominan " doblete de isospín ", matemáticamente análogo a cómo se comporta una partícula de ½ espín en una rotación ordinaria.
- Cuando estas transformaciones unitarias se aplican a cualquiera de los tres piones (
π0
,
π+
, y
π-
), puede convertir cualquiera de los piones en cualquier otro, pero no en ninguna partícula que no sea pión. Por tanto, las transformaciones mueven los piones alrededor de un espacio tridimensional de estados cuánticos. Los piones se denominan " triplete de isospin ", matemáticamente análogo a cómo se comporta una partícula de espín-1 en una rotación ordinaria. - Estas transformaciones no tienen ningún efecto en un electrón , porque no contiene ni quarks ascendentes ni descendentes. El electrón se llama singlete isospin, matemáticamente análogo a cómo se comporta una partícula de spin-0 bajo rotación ordinaria.
En general, las partículas forman multipletes isospin , que corresponden a representaciones irreductibles del álgebra de Lie SU (2) . Las partículas en un multiplete isospin tienen masas muy similares pero no idénticas, porque los quarks up y down son muy similares pero no idénticos.
Ejemplo: simetría de sabor
La simetría isospin se puede generalizar a la simetría de sabor , un grupo SU (3) correspondiente a la similitud entre quarks up , quarks down y quarks extraños . [7] Esto es, nuevamente, una simetría aproximada, violada por las diferencias de masa de los quarks y las interacciones electrodébiles; de hecho, es una aproximación más pobre que el isospin, debido a la masa notablemente más alta del quark extraño.
Sin embargo, las partículas se pueden dividir claramente en grupos que forman representaciones irreductibles del álgebra de Lie SU (3) , como señaló por primera vez Murray Gell-Mann e independientemente por Yuval Ne'eman .
Ver también
- Carga (física)
- Teoría de la representación :
- De las álgebras de mentira
- Grupos de Of Lie
- Representación proyectiva
- Grupo unitario especial
Notas
- ↑ Wigner recibió el Premio Nobel de Física en 1963 "por sus contribuciones a la teoría del núcleo atómico y las partículas elementales, particularmente a través del descubrimiento y aplicación de principios fundamentales de simetría"; véase también el teorema de Wigner , la clasificación de Wigner .
- ^ Salón 2015 Sección 4.7
- ^ Teorema de Hall 2013 16.47
- ^ Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Ana. de Matemáticas . 59 (1): 1–46. doi : 10.2307 / 1969831 . JSTOR 1969831 .
- ^ Weinberg 1995 Capítulo 2, Apéndice A y B.
- ^ Salón 2015 Sección 5.7
- ^ a b Notas de la conferencia del Prof. Mark Thomson
Referencias
- Coleman, Sidney (1985) Aspectos de simetría: conferencias seleccionadas de Erice de Sidney Coleman . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 0-521-26706-4 .
- Georgi, Howard (1999) Lie Algebras in Particle Physics . Reading, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-7382-0233-9 .
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Sternberg, Shlomo (1994) Teoría y física de grupos . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 0-521-24870-1 . Especialmente las págs. 148-150.
- Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos, volumen 1: fundamentos . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 0-521-55001-7. Especialmente los apéndices A y B del Capítulo 2.
enlaces externos
- Báez, John C .; Huerta, John (2010). "El álgebra de las grandes teorías unificadas". Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . doi : 10.1090 / S0273-0979-10-01294-2 . S2CID 2941843 .