En matemáticas constructivas , una relación de separación es una forma constructiva de desigualdad y, a menudo, se considera más básica que la igualdad . A menudo se escribe como # para distinguir de la negación de la igualdad (la negación de la desigualdad ) ≠, que es más débil.
Descripción
Una relación de separación es una relación binaria irreflexiva simétrica con la condición adicional de que si dos elementos están separados, entonces cualquier otro elemento está separado de al menos uno de ellos (esta última propiedad a menudo se llama co-transitividad o comparación ).
Es decir, una relación binaria # es una relación de separación si satisface: [1]
El complemento de una relación de separación es una relación de equivalencia , ya que las tres condiciones anteriores se convierten en reflexividad , simetría y transitividad . Si esta relación de equivalencia es de hecho igualdad, entonces la relación de separación se llama estrecha . Es decir, # es una estrecha relación de separación si además satisface:
- 4.
En matemáticas clásicas , también se sigue que toda relación de separación es el complemento de una relación de equivalencia, y la única relación de separación estrecha en un conjunto dado es el complemento de igualdad. Entonces, en ese dominio, el concepto no es útil. En matemáticas constructivas, sin embargo, este no es el caso.
La relación de separación prototípica es la de los números reales: se dice que dos números reales están separados si existe (se puede construir) un número racional entre ellos. En otras palabras, los números reales x y y son aparte si existe un número racional z tal que x < z < Y o Y < z < x . La relación de separación natural de los números reales es entonces la disyunción de su pseudoorden natural . Los números complejos , los espacios vectoriales reales y, de hecho, cualquier espacio métrico heredan naturalmente la relación de separación de los números reales, aunque no vengan equipados con ningún orden natural.
Si no hay un número racional entre dos números reales, entonces los dos números reales son iguales. Clásicamente, entonces, si dos números reales no son iguales, se podría concluir que existe un número racional entre ellos. Sin embargo, no se sigue que uno pueda realmente construir tal número. Por lo tanto, decir que dos números reales están separados es una afirmación más fuerte, de manera constructiva, que decir que no son iguales, y aunque la igualdad de los números reales se puede definir en términos de su separación, la separación de los números reales no se puede definir en términos de su separación. igualdad. Por esta razón, especialmente en la topología constructiva , la relación de separación sobre un conjunto a menudo se toma como primitiva, y la igualdad es una relación definida.
Un conjunto dotado de una relación de separación se conoce como setoide constructivo . Una funcióndonde A y B son setoides constructivos se llama morfismo para # A y # B si.
Referencias
- ^ Troelstra, AS; Schwichtenberg, H. (2000), Teoría de la prueba básica , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 43 (2ª ed.), Cambridge University Press, Cambridge, p. 136, doi : 10.1017 / CBO9781139168717 , ISBN 0-521-77911-1, Señor 1776976.