En matemáticas constructivas , un pseudoorden es una generalización constructiva de un orden lineal al caso continuo. La ley de tricotomía habitual no se mantiene en el continuo constructivo debido a su indecomponibilidad , por lo que esta condición se debilita.
Un pseudoorden es una relación binaria que satisface las siguientes condiciones:
- No es posible que dos elementos sean menores que el otro. Es decir,.
- Para todos x , y , y z , si x < y entonces o bien x < z o z < y . Es decir,.
- Cada dos elementos para los que ninguno es menor que el otro deben ser iguales. Es decir,
Esta primera condición es simplemente asimetría . De las dos primeras condiciones se deduce que un pseudoorden es transitivo . La segunda condición a menudo se llama co-transitividad o comparación y es el sustituto constructivo de la tricotomía. En general, dados dos elementos de un conjunto pseudoordenado, no siempre se da el caso de que uno sea menor que el otro o que sean iguales, [ aclaración necesaria ] pero dado cualquier intervalo no trivial, cualquier elemento está por encima del inferior límite, o por debajo del límite superior.
La tercera condición se toma a menudo como la definición de igualdad. La relación de separación natural en un conjunto pseudoordenado está dada por
y la igualdad se define por la negación de la separación.
La negación del pseudoorden es un orden parcial que está cerca de un orden total : si x ≤ y se define como la negación de y < x , entonces tenemos
Utilizando la lógica clásica uno sería entonces concluir que x ≤ y o y ≤ x , por lo que sería un orden total. Sin embargo, esta inferencia no es válida en el caso constructivo.
El pseudoorden prototípico es el de los números reales: un número real es menor que otro si existe (se puede construir) un número racional mayor que el primero y menor que el segundo. En otras palabras, x < y si existe un número racional z tal que x < z < y .
Co-transitividad
La segunda condición merece algunas consideraciones por sí misma. Se llama co-transitividad ya que una relación es transitiva si su complemento satisface la condición 2. Además, sus siguientes propiedades se pueden probar usando la lógica clásica.
Si R es una relación co-transitiva, entonces
- R también es cuasitransitivo ;
- R satisface el axioma 3 de semiordenadores ; [nota 1]
- la incomparabilidad wrt R es una relación transitiva; [nota 2] y
- R es connex iff es reflexivo . [nota 3]
Las condiciones suficientes para que una relación co-transitiva R sea transitiva también son:
- R es euclidiana izquierda ;
- R es euclidiana derecha;
- R es antisimétrico .
Una relación R de semiconexión también es cotransitiva si es simétrica , euclidiana izquierda o derecha, transitiva o cuasitransitiva. Si la incomparabilidad wrt R es una relación transitiva, entonces R es co-transitiva si es simétrica, euclidiana izquierda o derecha o transitiva.
Notas
- ^ Para R simétrico, el axioma 3 del semiorder coincide incluso con la co-transitividad.
- ^ Se requiere la transitividad de la incomparabilidad, por ejemplo, para ordenamientos débiles estrictos.
- ^ a menos que el dominio sea un conjunto singleton
Referencias
- Heyting, Arend (1966). Intuicionismo: una introducción (2ª ed.). Ámsterdam: Pub de Holanda Septentrional. Co. p. 106 .