Un apeirotopo o politopo infinito es un politopo generalizado que tiene infinitas facetas .
Definición
Apeirotopo abstracto
Un n -politopo abstracto es un conjunto P parcialmente ordenado (cuyos elementos se llaman caras ) tal que P contiene una cara menor y una cara mayor, cada subconjunto máximo totalmente ordenado (llamado bandera ) contiene exactamente n + 2 caras, P es fuertemente conectan, y hay exactamente dos caras que se encuentran estrictamente entre una y b son dos caras cuyas filas diferir por dos. [1] [2] Un politopo abstracto se denomina apeirótopo abstracto si tiene infinitas caras. [3]
Un politopo abstracto se llama regularmente si su grupo de automorfismos Γ ( P ) actúa transitivamente en todas las banderas de P . [4]
Clasificación
Hay dos clases geométricas principales de apeirotopo: [5]
- panales en n dimensiones, que llenan completamente un espacio n -dimensional .
- apeirotopos sesgados , que comprenden una variedad n- dimensional en un espacio superior
Panales
En general, un panal en n dimensiones es un ejemplo infinito de un politopo en n + 1 dimensiones.
Los mosaicos del plano y los rellenos espaciales compactos de poliedros son ejemplos de panales en dos y tres dimensiones, respectivamente.
Una línea dividida en infinitos segmentos finitos es un ejemplo de un apeirogon .
Apeirotopos sesgados
Apeirogons sesgados
Un apeirogon sesgado en dos dimensiones forma una línea en zig-zag en el plano. Si el zig-zag es uniforme y simétrico, entonces el apeirogon es regular.
Los apeirogons oblicuos se pueden construir en cualquier número de dimensiones. En tres dimensiones, un apeirogon oblicuo regular traza una espiral helicoidal y puede ser zurdo o diestro.
Poliedros de sesgo infinito
Hay tres apeiroedros oblicuos regulares, que parecen esponjas poliédricas:
- 6 cuadrados alrededor de cada vértice, símbolo de Coxeter {4,6 | 4}
- 4 hexágonos alrededor de cada vértice, símbolo de Coxeter {6,4 | 4}
- 6 hexágonos alrededor de cada vértice, símbolo de Coxeter {6,6 | 3}
Hay treinta apeiroedros regulares en el espacio euclidiano. [6] Estos incluyen los enumerados anteriormente, así como (en el plano) politopos de tipo: {∞, 3}, {∞, 4}, {∞, 6} y en el espacio tridimensional, combinaciones de estos con un apeirogon o un segmento de línea, y el apeiroedro tridimensional "puro" (12 en número)
Referencias
- ^ McMullen y Schulte (2002) , págs. 22-25.
- ^ McMullen (1994) , p. 224.
- ^ McMullen y Schulte (2002) , p. 25.
- ^ McMullen y Schulte (2002) , p. 31.
- ^ Grünbaum (1977) .
- ^ McMullen y Schulte (2002 , sección 7E)
Bibliografía
- Grünbaum, B. (1977). "Poliedros regulares: antiguos y nuevos". Aeqationes mathicae . 16 : 1–20.
- McMullen, Peter (1994), "Realizaciones de apeirotopos regulares", Aequationes Mathematicae , 47 (2-3): 223-239, doi : 10.1007 / BF01832961 , MR 1268033
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002), Politopos regulares abstractos , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 92 , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511546686 , ISBN 0-521-81496-0, Señor 1965665