En geometría , un apeirogon (de las palabras griegas "ἄπειρος" apeiros : "infinito, ilimitado" y "γωνία" gonia : "ángulo") o polígono infinito es un polígono generalizado con un número infinito numerable de lados. Los apeirogones son el caso bidimensional de politopos infinitos .
El apeirogon regular | |
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Aristas y vértices | ∞ |
Símbolo de Schläfli | {∞} |
Diagrama de Coxeter | |
Ángulo interno ( grados ) | 180 ° |
Polígono dual | Auto-dual |
En alguna literatura, el término "apeirogon" puede referirse solo al apeirogon regular , con un grupo diedro infinito de simetrías . [1]
Definiciones
Definición constructiva clásica
Dado un punto A 0 en un espacio euclidiano y una traslación S , defina el punto A i como el punto obtenido de i aplicaciones de la traslación S a A 0 , por lo que A i = S i (A 0 ) . El conjunto de vértices A i con i cualquier número entero, junto con los bordes que conectan los vértices adyacentes, es una secuencia de segmentos de igual longitud de una línea, y se denomina apeirogon regular según lo define HSM Coxeter . [1]
Un apeirogon regular se puede definir como una partición de la recta euclidiana E 1 en infinitos segmentos de igual longitud, generalizando el n -gon regular , que se puede definir como una partición del círculo S 1 en un número finito de segmentos de igual longitud. [2]
Definición abstracta moderna
Un politopo abstracto es un conjunto P parcialmente ordenado (cuyos elementos se denominan caras ) con propiedades que modelan las de las inclusiones de caras de politopos convexos . El rango (o dimensión) de un politopo abstracto está determinado por la longitud de las cadenas ordenadas máximas de sus caras, y un politopo abstracto de rango n se denomina n -politopo abstracto . [3] : 22-25
Para politopos abstractos de rango 2, esto significa que: A) los elementos del conjunto parcialmente ordenado son conjuntos de vértices con vértice cero (el conjunto vacío ), un vértice, dos vértices (un borde ) o el conjunto de vértices completo ( una cara bidimensional), ordenada por inclusión de conjuntos; B) cada vértice pertenece exactamente a dos aristas; C) el grafo no dirigido formado por los vértices y los bordes está conectado. [3] : 22-25 [4] : 224
Un politopo abstracto se llama apeirótopo abstracto si tiene infinitos elementos; un 2-apeirotopo abstracto se llama un apeirogon abstracto . [3] : 25
En un politopo abstracto, una bandera es una colección de una cara de cada dimensión, todas incidentes entre sí (es decir, comparables en el orden parcial); un politopo abstracto se llama regular si tiene simetrías (permutaciones de sus elementos que preservan la estructura) que llevan cualquier bandera a cualquier otra bandera. En el caso de un politopo abstracto bidimensional, esto es automáticamente cierto; las simetrías del apeirogon forman el grupo diedro infinito . [3] : 31
Pseudogon
El pseudogon regular es una partición de la línea hiperbólica H 1 (en lugar de la línea euclidiana) en segmentos de longitud 2λ, como un análogo del apeirogon regular. [2]
Realizaciones
Definición
Una realización de un apeirogon abstracto se define como un mapeo desde sus vértices a un espacio geométrico de dimensión finita (típicamente un espacio euclidiano ) de manera que cada simetría del apeirogon abstracto corresponde a una isometría de las imágenes del mapeo. [3] : 121 [4] : 225 Dos realizaciones se denominan congruentes si la biyección natural entre sus conjuntos de vértices es inducida por una isometría de sus espacios euclidianos ambientales. [3] : 126 [4] : 229 La definición clásica de un apeirogon como una subdivisión igualmente espaciada de la línea euclidiana es una realización en este sentido, como lo es el subconjunto convexo en el plano hiperbólico formado por el casco convexo de igualmente- puntos espaciados en un horociclo . [5] Otras realizaciones son posibles en espacios de dimensiones superiores.
Simetrías de una realización
El grupo diedro infinito G de simetrías de una realización V de un apeirogon abstracto P es generado por dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [3] : 140-141 [4] : 231 El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación distinta de cero, un número finito de rotaciones y una reflexión posiblemente trivial. [3] : 141 [4] : 231
Moduli espacio de realizaciones
Generalmente, el espacio de módulos de realizaciones de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [3] : 127 [4] : 229-230 El cono de realización del apeirogon abstracto tiene una dimensión algebraica infinita y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [3] : 141 [4] : 232
Clasificación de los apeirogons euclidianos
Las realizaciones de politopos abstractos bidimensionales (que incluyen tanto polígonos como apeirogones), en espacios euclidianos de al menos tres dimensiones, se pueden clasificar en seis tipos:
- polígonos convexos ,
- polígonos estrella ,
- apeirogons regulares en la línea euclidiana,
- polígonos de sesgo infinito ( polígonos en zig-zag infinitos en el plano euclidiano),
- antiprismas (incluidos prismas de estrellas y antiprismas de estrellas), y
- polígonos helicoidales infinitos (puntos uniformemente espaciados a lo largo de una hélice ). [6]
Los apeirogones abstractos pueden realizarse de todas estas formas, en algunos casos mapeando infinitos vértices diferentes de un apeirogon abstracto en un número finito de puntos de la realización. Un apeirogon también admite realizaciones de polígono estelar y realizaciones antipismáticas con un conjunto no discreto de infinitos puntos.
Generalizaciones
Dimensión superior
Los apeiroedros son los análogos tridimensionales de los apeirogones y son los análogos infinitos de los poliedros . [7] De manera más general, n - apeirotopos o n -politopos infinitos son los análogos n- dimensionales de los apeirogones, y son los análogos infinitos de n - politopos . [3] : 22-25
Ver también
- Azulejos Apeirogonal
- Prisma apeirogonal
- Antiprisma apeirogonal
Referencias
- ↑ a b Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares . Londres: Methuen & Co. Ltd. p. 45.
- ^ a b Johnson, Norman W. (2018). "11: Grupos de simetría finita". Geometrías y transformaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 226.
- ^ a b c d e f g h yo j k McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002). Politopos regulares abstractos (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-81496-0.
- ^ a b c d e f g McMullen, Peter (1994), "Realizaciones de apeirotopos regulares", Aequationes Mathematicae , 47 (2-3): 223-239, doi : 10.1007 / BF01832961 , MR 1268033
- ^ Buchanan, Kristopher; Flores, Carlos; Wheeland, Sara; Jensen, Jeffrey; Grayson, David; Huff, Gregory (2017). "Transmitir formación de haz para aplicaciones de radar utilizando matrices aleatorias cónicas circularmente". Conferencia de radar IEEE 2017 (Radar Conf). págs. 0112–0117. doi: 10.1109 / RADAR.2017.7944181. ISBN 978-1-4673-8823-8 .
- ^ Grünbaum, B. (1977). "Poliedros regulares - viejos y nuevos". Aequationes Mathematicae . 16 (1–2): 119. doi : 10.1007 / BF01836414 .
- ^ Coxeter, HSM (1937). "Poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones". Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62.
enlaces externos
- Russell, Robert A .. "Apeirogon" . MathWorld .
- Olshevsky, George. "Apeirogon" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.