En geometría , un polígono de sesgo infinito o un apeirogon de sesgo es un politopo 2- infinito con vértices que no son todos colineales . Los polígonos de inclinación infinita en zig-zag son polígonos de inclinación infinita bidimensionales con vértices que alternan entre dos líneas paralelas. Los polígonos helicoidales infinitos son polígonos oblicuos infinitos tridimensionales con vértices en la superficie de un cilindro .
Existen polígonos regulares de sesgo infinito en los polígonos de Petrie de los grupos Coxeter afines e hiperbólicos . Se construyen un solo operador como el compuesto de todos los reflejos del grupo Coxeter.
Apeirogons oblicuos en zig-zag regulares en dos dimensiones
Apeirogon regular en zig-zag sesgado | |
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Aristas y vértices | ∞ |
Símbolo de Schläfli | {∞} # {} |
Grupo de simetría | D ∞d , [2 + , ∞], (2 * ∞) |
Un apeirogon sesgado en zig-zag regular tiene (2 * ∞), D ∞d simetría de grupo Friso .
Los apeirogones oblicuos en zig-zag regulares existen como polígonos de Petrie de las tres teselaciones regulares del plano: {4,4}, {6,3} y {3,6}. Estos apeirogons oblicuos en zig-zag regulares tienen ángulos internos de 90 °, 120 ° y 60 ° respectivamente, de los polígonos regulares dentro de los mosaicos:
Apeirogons de sesgo isotoxal en dos dimensiones
Un apeirogon isotoxal tiene un tipo de borde, entre dos tipos de vértices alternos. Hay un grado de libertad en el ángulo interno , α. {∞ α } es el polígono dual de un apeirogon sesgado isogonal.
{∞ 0 ° } | |
{∞ 30 ° } |
Apeirogons oblicuos isogonales en dos dimensiones
Apeirogons oblicuos en zig-zag isogonales en dos dimensiones
Un apeirogon sesgado isogonal alterna dos tipos de aristas con varias simetrías de grupo Frieze . Los apeirogons de sesgo en zig-zag regulares distorsionados producen apeirogons de sesgo en zig-zag isogonales con simetría de traslación:
p1, [∞] + , (∞∞), C ∞ | |
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Apeirogons oblicuos alargados isogonales en dos dimensiones
Otros apeirogons sesgados isogonales tienen bordes alternos paralelos a la dirección del friso. Estos apeirogons oblicuos alargados isogonales tienen simetría de espejo vertical en los puntos medios de los bordes paralelos a la dirección del friso:
p2mg, [2 + , ∞], (2 * ∞), D ∞d | ||
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Apeirogons oblicuos alargados cuasirregulares en dos dimensiones
Un apeirogon oblicuo alargado isogonal tiene dos tipos de bordes diferentes; si ambos tipos de aristas tienen la misma longitud: no se puede llamar regular porque sus dos tipos de aristas siguen siendo diferentes ("trans-edge" y "cis-edge"), pero se puede llamar cuasirregular.
Los ejemplos de apeirogones sesgados alargados cuasirregulares se pueden ver como polígonos de Petrie truncados en mosaicos regulares truncados del plano euclidiano:
Apeirogons de sesgo hiperbólico
Los polígonos de sesgo regular infinito se encuentran de manera similar en el plano euclidiano y en el plano hiperbólico .
Los polígonos de sesgo regulares infinitos hiperbólicos también existen como polígonos de Petrie que zigzaguean por caminos de borde en todos los mosaicos regulares del plano hiperbólico . Y nuevamente, como en el plano euclidiano, los polígonos de sesgo cuasirregulares infinitos hiperbólicos se pueden construir como polígonos de Petrie truncados dentro de los bordes de todos los mosaicos regulares truncados del plano hiperbólico.
{3,7} | t {3,7} |
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Sesgo regular | Sesgo cuasirregular |
Polígonos helicoidales infinitos en tres dimensiones
{∞} # {3} Un polígono helicoidal regular infinito (dibujado en perspectiva ) |
Un polígono helicoidal infinito (sesgado) puede existir en tres dimensiones, donde los vértices pueden verse limitados a la superficie de un cilindro . El boceto de la derecha es una vista en perspectiva 3D de un polígono helicoidal regular tan infinito.
Este polígono helicoidal infinito se puede ver principalmente como construido a partir de los vértices en una pila infinita de prismas o antiprismas n -gonales uniformes , aunque en general el ángulo de torsión no se limita a un divisor entero de 180 °. Un polígono helicoidal infinito (sesgado) tiene simetría del eje del tornillo .
Una pila infinita de prismas , por ejemplo cubos, contiene un polígono helicoidal infinito a través de las diagonales de las caras cuadradas, con un ángulo de giro de 90 ° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {4}.
Una pila infinita de antiprismas, por ejemplo octaedros , forma polígonos helicoidales infinitos, 3 aquí resaltados en rojo, verde y azul, cada uno con un ángulo de giro de 60 ° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {6}.
Una secuencia de aristas de una hélice de Boerdijk-Coxeter puede representar polígonos helicoidales regulares infinitos con un ángulo de giro irracional:
Polígonos helicoidales isogonales infinitos en tres dimensiones
Una pila de prismas rectos puede generar apeirogones helicoidales isogonales alternando bordes alrededor del eje y a lo largo del eje; por ejemplo, una pila de cubos puede generar este apeirogon helicoidal isogonal alternando bordes rojos y azules:
De manera similar, una pila alterna de prismas y antiprismas puede producir un polígono helicoidal isogonal infinito; por ejemplo, una pila triangular de prismas y antiprismas con un polígono helicoidal isogonal infinito:
Un polígono helicoidal isogonal infinito con un ángulo de giro irracional también se puede construir a partir de tetraedros truncados apilados como una hélice de Boerdijk-Coxeter , alternando dos tipos de aristas, entre pares de caras hexagonales y pares de caras triangulares:
Referencias
- Coxeter , HSM; Politopos complejos regulares (1974). Capítulo 1. Polígonos regulares , 1.5. Polígonos regulares en n dimensiones, 1.7. Polígonos en zigzag y antipismáticos , 1.8. Polígonos helicoidales . 4.3. Banderas y Ortosquemas , 11.3. Polígonos de Petrie