Un arco ( simple ) en geometría proyectiva finita es un conjunto de puntos que satisface, de manera intuitiva, una característica de figuras curvas en geometrías continuas . Hablando libremente, son conjuntos de puntos que están lejos de ser "similares a líneas" en un plano o lejos de ser "similares a planos" en un espacio tridimensional. En esta configuración finita, es típico incluir el número de puntos del conjunto en el nombre, por lo que estos arcos simples se denominan k - arcos . Una generalización importante del concepto de k -arc, también denominados arcos en la literatura, son los ( k, d ) -arcs.
k -arcos en un plano proyectivo
En un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ), un conjunto A de k ( k ≥ 3) puntos tal que no hay tres puntos de A que sean colineales (en una línea) se llama k - arco . Si el plano π tiene orden q, entonces k ≤ q + 2 , sin embargo, el valor máximo de k solo se puede alcanzar si q es par. [1] En un plano de orden q , un ( q + 1) -arco se llama óvalo y, si q es par, un ( q + 2) -arco se llama hiperoval .
Toda cónica en el plano proyectivo desarguesiano PG (2, q ), es decir, el conjunto de ceros de una ecuación cuadrática homogénea irreductible, es un óvalo. Un célebre resultado de Beniamino Segre establece que cuando q es impar, cada ( q + 1) -arco en PG (2, q ) es una cónica ( teorema de Segre ). Este es uno de los resultados pioneros en geometría finita .
Si q es par y A es un ( q + 1) -arc en π , entonces se puede demostrar mediante argumentos combinatorios que debe existir un punto único en π (llamado núcleo de A ) tal que la unión de A y este el punto es un ( q + 2) -arc. Por lo tanto, cada óvalo puede extenderse de manera única a un hipervalo en un plano proyectivo finito de orden uniforme.
Un arco k que no se puede extender a un arco más grande se llama arco completo . En los planos proyectivos desarguesianos, PG (2, q ), ningún arco q está completo, por lo que todos pueden extenderse a óvalos. [2]
k -arcos en un espacio proyectivo
En el espacio proyectivo finito PG ( n , q ) con n ≥ 3 , un conjunto A de k ≥ n + 1 puntos tal que no hay n + 1 puntos en un hiperplano común se denomina k - arco (espacial) . Esta definición generaliza la definición de un k- arco en un plano (donde n = 2 ).
( k , d ) -arcos en un plano proyectivo
A ( k , d ) - arco ( k , d > 1 ) en un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ) es un conjunto, A de k puntos de π tales que cada recta interseca A en como máximo d puntos, y allí es al menos una línea que interseca A en d puntos. Un arco ( k , 2 ) es un arco k y se puede denominar simplemente un arco si el tamaño no es un problema.
El número de puntos k de a ( k , d ) -arc A en un plano proyectivo de orden q es como máximo qd + d - q . Cuando ocurre la igualdad, uno llama a A un arco máximo .
Los hipervalores son arcos máximos. Los arcos completos no necesitan ser arcos máximos.
Ver también
Notas
- ^ Hirschfeld , 1979 , p. 164, Teorema 8.1.3
- ^ Dembowski 1968 , p. 150, resultado 28
Referencias
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
- Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Nueva York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
enlaces externos
- CM O'Keefe (2001) [1994], "Arc" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press