En matemáticas , un conjunto de nivel de un verdadero -valued función f de n variables reales es un conjunto de la forma
es decir, un conjunto donde la función toma un valor constante c .
Cuando el número de variables independientes es dos, un conjunto de niveles es una curva , llamada curva de nivel , también conocida como línea de contorno o isolínea. Entonces, una curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones de valor real de una ecuación en dos variables x 1 y x 2 . Cuando n = 3, un conjunto de niveles se denomina superficie nivelada (véase también isosuperficie ), y para valores más altos de n, el conjunto de niveles es una hipersuperficie nivelada. Entonces, una superficie nivelada es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en tres variables x 1 , x 2 y x 3, y una hipersuperficie de nivel es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en n ( n > 3) variables.
Un conjunto de niveles es un caso especial de fibra .
Nombres alternativos [ editar ]
Los conjuntos de niveles aparecen en muchas aplicaciones, a menudo con diferentes nombres.
Por ejemplo, una curva implícita es una curva de nivel, que se considera independientemente de sus curvas vecinas, enfatizando que dicha curva está definida por una ecuación implícita . De manera análoga, una superficie nivelada a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .
También se utiliza el nombre isocontour, que significa un contorno de igual altura. En diversas áreas de aplicación, isocontornos han recibido nombres específicos, que indican a menudo la naturaleza de los valores de la función considerado, tales como isobara , isoterma , Isogon , isócrono , isocuanta y curva de indiferencia .
Ejemplos [ editar ]
Considere la distancia euclidiana bidimensional:
Un segundo ejemplo es el diagrama de la función de Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva que se muestra es una curva de nivel de la función, y están espaciadas logarítmicamente: si una curva representa , la curva directamente "dentro" representa y la curva directamente "fuera" representa .
Conjuntos de niveles frente al degradado [ editar ]
- Teorema : Si la función f es derivable , el gradiente de f en un punto es cero o perpendicular al conjunto de niveles de f en ese punto.
Para comprender lo que esto significa, imagine que dos excursionistas están en el mismo lugar en una montaña. Uno de ellos es atrevido y decide ir en la dirección donde la pendiente es más pronunciada. El otro es más cauteloso; no quiere ni subir ni bajar, eligiendo un camino que lo mantenga a la misma altura. En nuestra analogía, el teorema anterior dice que los dos excursionistas partirán en direcciones perpendiculares entre sí.
Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es diferenciable, un conjunto de niveles es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, un conjunto de niveles puede reducirse a un punto (por ejemplo, en un extremo local de f ) o puede tener una singularidad como un punto de auto-intersección o una cúspide .
Conjuntos de subnivel y supernivel [ editar ]
Un conjunto de la forma
se llama un conjunto de subnivel de f (o, alternativamente, un conjunto de nivel inferior o trinchera de f ). Un conjunto de subnivel estricto de f es
similar
se llama un conjunto de supernivel de f . [2] [3] Y de manera similar, un conjunto estricto de supernivel de f es
Los conjuntos de subniveles son importantes en la teoría de minimización . El límite de algún conjunto de subnivel no vacío y la semicontinuidad inferior de la función implica que una función alcanza su mínimo, según el teorema de Weierstrass . La convexidad de todos los conjuntos de subniveles caracteriza las funciones cuasiconvexas . [4]
Ver también [ editar ]
- Epígrafe
- Método de ajuste de nivel
- Conjunto de niveles (estructuras de datos)
Referencias [ editar ]
- ^ Simionescu, PA (2011). "Algunos avances para visualizar funciones restringidas y desigualdades de dos variables". Revista de Informática y Ciencias de la Información en Ingeniería . 11 (1). doi : 10.1115 / 1.3570770 .
- ^ Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Conjunto de niveles" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjunto de niveles" . MathWorld .
- ^ Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, serie A . Berlín, Heidelberg: Springer. 90 (1): 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . Señor 1819784 . S2CID 10043417 .