En lógica matemática , la aritmética de segundo orden es una colección de sistemas axiomáticos que formalizan los números naturales y sus subconjuntos. Es una alternativa a la teoría axiomática de conjuntos como base para muchas, pero no todas, las matemáticas.
David Hilbert y Paul Bernays introdujeron un precursor de la aritmética de segundo orden que involucra parámetros de tercer orden en su libro Grundlagen der Mathematik . La axiomatización estándar de la aritmética de segundo orden se denota por Z 2 .
La aritmética de segundo orden incluye, pero es significativamente más fuerte que su contraparte de primer orden , la aritmética de Peano . A diferencia de la aritmética de Peano, la aritmética de segundo orden permite la cuantificación sobre conjuntos de números naturales, así como sobre los propios números. Debido a que los números reales se pueden representar como conjuntos ( infinitos ) de números naturales de maneras bien conocidas, y debido a que la aritmética de segundo orden permite la cuantificación sobre dichos conjuntos, es posible formalizar los números reales en aritmética de segundo orden. Por esta razón, la aritmética de segundo orden a veces se denomina " análisis " (Sieg 2013, p. 291).
La aritmética de segundo orden también puede verse como una versión débil de la teoría de conjuntos en la que cada elemento es un número natural o un conjunto de números naturales. Aunque es mucho más débil que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la aritmética de segundo orden puede probar esencialmente todos los resultados de las matemáticas clásicas expresables en su lenguaje.
Un subsistema de la aritmética de segundo orden es una teoría en el lenguaje de la aritmética de segundo orden, cada uno de los cuales es un teorema de la aritmética de segundo orden completo (Z 2 ). Dichos subsistemas son esenciales para las matemáticas inversas , un programa de investigación que investiga cuánto de las matemáticas clásicas se puede derivar en ciertos subsistemas débiles de fuerza variable. Gran parte de las matemáticas básicas se pueden formalizar en estos subsistemas débiles, algunos de los cuales se definen a continuación. Las matemáticas inversas también aclaran el grado y la manera en que las matemáticas clásicas son no constructivas .
El lenguaje de la aritmética de segundo orden es de dos clases . El primer tipo de términos y, en particular , variables , generalmente denotados con letras minúsculas, consiste en individuos , cuya interpretación prevista es como números naturales. El otro tipo de variables, llamadas "variables de conjunto", "variables de clase" o incluso "predicados", generalmente se indican con letras mayúsculas. Hacen referencia a clases/predicados/propiedades de individuos, por lo que pueden considerarse como conjuntos de números naturales. Tanto los individuos como las variables establecidas pueden cuantificarse universal o existencialmente. Una fórmula sin variables de conjunto ligadas (es decir, sin cuantificadores sobre variables de conjunto) se llama fórmula aritmética .. Una fórmula aritmética puede tener variables de conjunto libre y variables individuales limitadas.