El problema del plegado de la servilleta es un problema de geometría y matemática del plegado de papel que explora si doblar una servilleta cuadrada o rectangular puede aumentar su perímetro . El problema se conoce con varios nombres, incluido el problema de la servilleta de Margulis , lo que sugiere que se debe a Grigory Margulis , y el problema del rublo de Arnold que se refiere a Vladimir Arnold y al doblar un billete de banco en rublos rusos . Algunas versiones del problema fueron resueltas por Robert J. Lang , Svetlana Krat ,Alexey S. Tarasov e Ivan Yaschenko . Una forma del problema permanece abierta.
Formulaciones
Hay varias formas de definir la noción de plegado , dando diferentes interpretaciones. Por convención, la servilleta es siempre un cuadrado unitario .
Plegado a lo largo de una línea recta
Considerando el plegado como un reflejo a lo largo de una línea que refleja todas las capas de la servilleta, el perímetro es siempre no creciente, por lo que nunca excede de 4. [1] [2]
Al considerar pliegues más generales que posiblemente reflejen solo una sola capa de la servilleta (en este caso, cada pliegue es un reflejo de un componente conectado de la servilleta doblada en un lado de una línea recta), aún se abre si una secuencia de estos pliegues puede aumentar el perímetro. [3] En otras palabras, todavía se desconoce si existe una solución que se pueda plegar usando una combinación de pliegues de montaña, pliegues de valle, pliegues inversos y / o pliegues de hundimiento (con todos los pliegues en los dos últimos casos formados a lo largo de una sola línea). También se desconoce, por supuesto, si tal pliegue sería posible usando el origami de tierra pura más restrictivo .
Plegar sin estirar
Se puede pedir una construcción realizable dentro de las limitaciones del origami rígido donde la servilleta nunca se estira mientras se dobla. En 2004 A. Tarasov demostró que tales construcciones se pueden obtener. Esto puede considerarse una solución completa al problema original. [4]
Donde solo importa el resultado
Uno puede preguntarse si existe una servilleta plana doblada (sin importar cómo se dobló en esa forma).
Robert J. Lang demostró en 1997 [2] que varias construcciones clásicas de origami dan lugar a una solución fácil. [5] De hecho, Lang demostró que el perímetro se puede hacer tan grande como se desee haciendo la construcción más complicada y, al mismo tiempo, dando como resultado una solución plegada plana. Sin embargo, sus construcciones no son necesariamente origami rígidas debido a su uso de pliegues de lavabo y formas relacionadas. Aunque no se necesita estiramiento en los pliegues que se hunden y desenrollan, a menudo (aunque no siempre) es necesario curvar las facetas y / o barrer uno o más pliegues continuamente a través del papel en pasos intermedios antes de obtener un resultado plano. Si existe una solución general rígidamente plegable basada en los pliegues del fregadero es un problema abierto. [ cita requerida ]
En 1998, I. Yaschenko construyó un plegado 3D con proyección sobre un plano de mayor perímetro. [6] Esto indicó a los matemáticos que probablemente existía una solución plana al problema. [ cita requerida ]
Svetlana Krat llegó a la misma conclusión. [7] Su enfoque es diferente, da una construcción muy simple de un "arrugamiento" que aumenta el perímetro y luego demuestra que cualquier "arrugamiento" puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un "pliegue". En esencia, muestra que los detalles precisos de cómo hacer los pliegues no importan mucho si se permite el estiramiento en pasos intermedios. [ cita requerida ]
Soluciones
Soluciones de Lang
Lang ideó dos soluciones diferentes. [5] [8] ambos implicados hundimiento solapas y por tanto no eran necesariamente de forma rígida plegable. El más simple se basó en la base del pájaro de origami y dio una solución con un perímetro de aproximadamente 4,12 en comparación con el perímetro original de 4.
La segunda solución se puede utilizar para hacer una figura con un perímetro tan grande como se desee. Divide el cuadrado en una gran cantidad de cuadrados más pequeños y emplea la construcción de origami tipo " erizo de mar " descrita en su libro de 1990, Origami Sea Life . [8] El patrón de pliegue que se muestra es el caso n = 5 y se puede usar para producir una figura plana con 25 solapas, una para cada uno de los círculos grandes, y se usa hundimiento para adelgazarlas. Cuando son muy delgados, los 25 brazos darán una estrella de 25 puntas con un centro pequeño y un perímetro próximo a N 2 / ( N - 1). En el caso de N = 5 esto es alrededor de 6,25, y la longitud total sube aproximadamente como N .
Historia
Arnold afirma en su libro que formuló el problema en 1956, pero la formulación se dejó intencionalmente vaga. [1] [9] Lo llamó "el problema del rublo arrugado", y fue el primero de muchos problemas interesantes que planteó en seminarios en Moscú durante 40 años. En Occidente, se conoció como problema de la servilleta de Margulis después de la publicación de Jim Propp en el grupo de noticias en 1996. [2] A pesar de la atención, recibió el estatus de folclore y su origen a menudo se conoce como "desconocido". [6]
Referencias
- ↑ a b Arnold, Vladimir Igorevich (2005). Problemas de Arnold . Berlín: Springer. ISBN 3-540-20748-1.
- ^ a b c "El problema de la servilleta de Margulis, discusión del grupo de noticias de 1996" . Depósito de chatarra de geometría .
- ^ Petrunin, Anton (2008). "Problema de Arnold en el plegado de papel". Zadachi Sankt-peterburgskoj Matematicheskoj Olimpiady Shkol'nikov Po Matematike (en ruso). arXiv : 1004.0545 . Código Bibliográfico : 2010arXiv1004.0545P .
- ^ Tarasov, AS (2004). "Solución del problema del" rublo doblado "de Arnold . Chebyshevskii Sbornik (en ruso). 5 (1): 174–187. Archivado desde el original el 25 de agosto de 2007.
- ^ a b Lang, Robert J. (2003). Secretos del diseño de origami: métodos matemáticos para un arte antiguo . AK Peters . págs. 315 –319.
- ^ a b Yaschenko, I. (1998). "¡¡¡Haz tu dólar más grande ahora !!!". Matemáticas. Intelligencer . 20 (2): 38–40. doi : 10.1007 / BF03025296 . S2CID 124667472 .
- ^ S. Krat, Problemas de aproximación en geometría de longitud, Ph.D. tesis, Universidad Estatal de Pensilvania, 2005
- ^ a b Montroll, John y Robert J. Lang (1990). Origami Sea Life . Publicaciones de Dover . págs. 195–201.
- ^ Tabachnikov, Sergei (2007). "Reseña del libro de" Problemas de Arnold " " (PDF) . Matemáticas. Intelligencer . 29 (1): 49–52. doi : 10.1007 / BF02984760 . S2CID 120833539 .
enlaces externos
- Erik Demaine y Joseph O'Rourke , Algoritmos de plegado geométrico: vínculos, origami, poliedros
- Igor Pak , Conferencias sobre geometría discreta y poliédrica , Sección 40.