En matemáticas , la función zeta de Artin-Mazur , llamada así por Michael Artin y Barry Mazur , es una función que se utiliza para estudiar las funciones iteradas que ocurren en sistemas dinámicos y fractales .
Se define como la serie de poder formal
donde Fix ( ƒ n ) es el conjunto de puntos fijos de la n º iterate de la función ƒ , y la tarjeta (Fix ( ƒ n )) es el número de puntos fijos (es decir, la cardinalidad de ese conjunto).
Tenga en cuenta que la función zeta se define solo si el conjunto de puntos fijos es finito para cada n . Esta definición es formal en el sentido de que la serie no siempre tiene un radio de convergencia positivo .
La función zeta de Artin-Mazur es invariante bajo la conjugación topológica .
El teorema de Milnor-Thurston establece que la función zeta de Artin-Mazur es la inversa del determinante de amasado de f .
Análogos
La función zeta de Artin-Mazur es formalmente similar a la función zeta local , cuando un difeomorfismo en una variedad compacta reemplaza el mapeo de Frobenius por una variedad algebraica sobre un campo finito .
La función zeta de Ihara de un gráfico se puede interpretar como un ejemplo de la función zeta de Artin-Mazur.
Ver también
Referencias
- Artin, Michael ; Mazur, Barry (1965), "Sobre puntos periódicos", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 81 (1): 82–99, doi : 10.2307 / 1970384 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970384 , MR 0176482
- David Ruelle , Funciones Zeta dinámicas y operadores de transferencia (2002) (PDF)
- Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000). "Funciones zeta de grafos finitos". J. Math. Sci. Univ. Tokio . 7 : 7–25.
- Terras, Audrey (2010), Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 128 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11367-0, Zbl 1206.05003