En matemáticas , la función zeta de Ihara es una función zeta asociada con un gráfico finito . Se parece mucho a la función zeta de Selberg y se utiliza para relacionar paseos cerrados con el espectro de la matriz de adyacencia . La función zeta de Ihara fue definida por primera vez por Yasutaka Ihara en la década de 1960 en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos . Jean-Pierre Serre sugirió en su libro Trees que la definición original de Ihara puede ser reinterpretada en teoría gráfica. EraToshikazu Sunada, quien puso en práctica esta sugerencia en 1985. Como observó Sunada, un gráfico regular es un gráfico de Ramanujan si y solo si su función Ihara zeta satisface un análogo de la hipótesis de Riemann . [1]
Definición
La función zeta de Ihara se define como la continuación analítica del producto infinito
El producto en la definición se toma sobre todas las geodésicas cerradas principales de la gráfica , donde las geodésicas que se diferencian por una rotación cíclica se consideran iguales. Una geodésica cerrada en (conocido en teoría de grafos como " paseo cerrado ") es una secuencia finita de vértices tal que
El entero es la longitud de . La geodésica cerradaes primo si no se puede obtener repitiendo una geodésica cerrada veces, por un entero .
Esta formulación de teoría de grafos se debe a Sunada.
Fórmula de Ihara
Ihara (y Sunada en la configuración de la teoría de gráficos) mostraron que para gráficos regulares la función zeta es una función racional. Si es un -Gráfico regular con matriz de adyacencia luego [2]
dónde es el rango del circuito de. Si está conectado y tiene vértices .
De hecho, la función zeta de Ihara es siempre el recíproco de un polinomio gráfico :
dónde es el operador de adyacencia de borde de Ki-ichiro Hashimoto. Hyman Bass dio una fórmula determinante que involucra al operador de adyacencia.
Aplicaciones
La función zeta de Ihara juega un papel importante en el estudio de grupos libres , teoría de grafos espectrales y sistemas dinámicos , especialmente dinámica simbólica , donde la función zeta de Ihara es un ejemplo de una función zeta de Ruelle . [3]
Referencias
- Ihara, Yasutaka (1966). "En subgrupos discretos del grupo lineal proyectivo de dos por dos sobrecampos -adic" . Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 18 : 219-235. doi : 10.2969 / jmsj / 01830219 . MR 0.223.463 . Zbl 0.158,27702 .
- Sunada, Toshikazu (1986). "Funciones L en geometría y algunas aplicaciones". Curvatura y topología de colectores de Riemann . Apuntes de clase en matemáticas . 1201 . págs. 266-284. doi : 10.1007 / BFb0075662 . ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046 .
- Bass, Hyman (1992). "La función zeta de Ihara-Selberg de una celosía de árbol". Revista Internacional de Matemáticas . 3 (6): 717–797. doi : 10.1142 / S0129167X92000357 . Señor 1194071 . Zbl 0767.11025 .
- Stark, Harold M. (1999). "Funciones zeta multitrayecto de gráficos". En Hejhal, Dennis A .; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C .; et al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Matemáticas. Apl. 109 . Springer . págs. 601–615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040 .
- Terras, Audrey (1999). "Un estudio de fórmulas de trazas discretas". En Hejhal, Dennis A .; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C .; et al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Matemáticas. Apl. 109 . Saltador. págs. 643–681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031 .
- Terras, Audrey (2010). Funciones Zeta de los gráficos: un paseo por el jardín . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 128 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003 .