En matemáticas , el teorema de aproximación de Artin es un resultado fundamental de Michael Artin ( 1969 ) en la teoría de la deformación que implica que las series de potencias formales con coeficientes en un campo k están bien aproximadas por las funciones algebraicas en k .
Más precisamente, Artin demostró dos de estos teoremas: uno, en 1968, sobre la aproximación de soluciones analíticas complejas mediante soluciones formales (en el caso ); y una versión algebraica de este teorema en 1969.
Declaración del teorema
Dejar denotar una colección de n indeterminados ,el anillo de la serie formal de poder con indeterminadossobre un campo k , yun conjunto diferente de indeterminados. Dejar
ser un sistema de ecuaciones polinomiales enY c un positivo número entero . Luego, dada una solución formal en serie de potencias, hay una solución algebraica que consta de funciones algebraicas (más precisamente, series de potencias algebraicas) tales que
Discusión
Dado cualquier entero positivo c deseado , este teorema muestra que se puede encontrar una solución algebraica que se aproxime a una solución formal en serie de potencias hasta el grado especificado por c . Esto conduce a teoremas que deducen la existencia de ciertos módulos formales de espacios de deformaciones como esquemas . Ver también: criterio de Artin .
Declaración alternativa
El siguiente enunciado alternativo se da en el teorema 1.12 de Michael Artin ( 1969 ).
Dejar sea un campo o un excelente anillo de valoración discreto, dejemos que ser la henselización de un-algebra de tipo finito en un ideal primo, sea m un ideal adecuado de, dejar ser la terminación m -ádica de, y deja
ser un functor que envía colimits filtrados a colimits filtrados (Artin llama a dicho functor localmente de presentación finita). Luego, para cualquier entero cy cualquier, hay un tal que
- .
Ver también
Referencias
- Artin, Michael (1969), "Aproximación algebraica de estructuras sobre anillos locales completos" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, MR 0268188
- Artin, Michael (1971). Espacios algebraicos . Monografías matemáticas de Yale. 3 . New Haven, CT – Londres: Yale University Press . Señor 0407012 .
- Raynaud, Michel (1971), "Travaux récents de M. Artin" , Séminaire Nicolas Bourbaki , 11 (363): 279-295, MR 3077132