grupo de trenzas
En matemáticas , el grupo de trenzas en n hilos (denotado ), también conocido como el grupo de trenzas de Artin , [1] es el grupo cuyos elementos son clases de equivalencia de n -trenzas (por ejemplo, bajo isotopía ambiental ), y cuya operación de grupo es la composición de trenzas (ver § Introducción ). Las aplicaciones de ejemplo de los grupos de trenzas incluyen la teoría de nudos , donde cualquier nudo puede representarse como el cierre de ciertas trenzas (un resultado conocido como teorema de Alexander ); en física matemática donde ArtinLa presentación canónica del grupo trenzado corresponde a la ecuación de Yang-Baxter (ver § Propiedades básicas ); y en monodromía invariantes de geometría algebraica . [2]
En esta introducción, sea n = 4 ; la generalización a otros valores de n será sencilla. Considere dos conjuntos de cuatro elementos que se encuentran sobre una mesa, con los elementos de cada conjunto dispuestos en una línea vertical, y de tal manera que un conjunto se encuentra junto al otro. (En las ilustraciones a continuación, estos son los puntos negros). Usando cuatro hilos, cada elemento del primer conjunto se conecta con un elemento del segundo conjunto para que resulte una correspondencia uno a uno. Tal conexión se llama trenza . A menudo, algunos hilos tendrán que pasar por encima o por debajo de otros, y esto es crucial: las siguientes dos conexiones son trenzas diferentes :
Por otro lado, dos conexiones de este tipo que se pueden hacer para que se vean iguales "tirando de los hilos" se consideran la misma trenza:
Se requiere que todos los hilos se muevan de izquierda a derecha; nudos como los siguientes no se consideran trenzas:
Se pueden componer dos trenzas cualquiera dibujando la primera junto a la segunda, identificando los cuatro elementos en el medio y conectando los hilos correspondientes:
El conjunto de todas las trenzas en cuatro hilos se denota por . La composición anterior de trenzas es de hecho una operación de grupo . El elemento de identidad es la trenza que consta de cuatro hilos horizontales paralelos, y el inverso de una trenza consiste en esa trenza que "deshace" lo que sea que hizo la primera trenza, que se obtiene al voltear un diagrama como los de arriba a través de una línea vertical que va a través de su centro. (Los dos primeros ejemplos de trenzas anteriores son inversos entre sí).
