Radical de un ideal

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad de que un elemento está en el radical si y sólo si alguna potencia de está en . Tomar el radical de un ideal se llama radicalización . Un ideal radical (o ideal semiprimo ) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primo . ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización yo}$

El radical de un ideal en un anillo conmutativo , denotado por o , se define como ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {rad} (I)}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {I}}}$

(nota que ). Intuitivamente, se obtiene tomando todas las raíces de los elementos de dentro del anillo . Equivalentemente, es la preimagen del ideal de elementos nilpotentes (los nilradical ) del anillo cociente (a través del mapa natural ). Esto último prueba que es un ideal. ^{[Nota 1]} $I\subconjunto {\sqrt {I}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {I}}}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización R}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {I}}}$ ${\ estilo de visualización R/I}$ ${\ estilo de visualización \ pi \ dos puntos R \ a R / I}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {I}}}$

Si el radical de se genera de forma finita , entonces alguna potencia de está contenida en . ^[1] En particular, si y son ideales de un anillo noetheriano , entonces y tienen el mismo radical si y solo si contiene alguna potencia de y contiene alguna potencia de . ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {I}}}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización J}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización J}$ ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización J}$ ${\ estilo de visualización J}$ ${\ estilo de visualización yo}$

Si un ideal coincide con su propio radical, entonces se le llama ideal radical o ideal semiprimo . ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización yo}$

Esta sección continuará con la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo : ${\ estilo de visualización R}$