En matemáticas , específicamente álgebra conmutativa , una adecuada ideales Q de un anillo conmutativo A se dice que es primaria si cada vez que xy es un elemento de Q entonces x o y n es también un elemento de Q , para algunos n > 0. Por ejemplo, en el anillo de los enteros Z , ( p n ) es un ideal primario si p es un número primo.
La noción de ideales primarios es importante en la teoría de anillos conmutativos porque cada ideal de un anillo noetheriano tiene una descomposición primaria , es decir, puede escribirse como una intersección de un número finito de ideales primarios. Este resultado se conoce como el teorema de Lasker-Noether . En consecuencia, [1] un ideal irreductible de un anillo noetheriano es primario.
Existen varios métodos para generalizar los ideales primarios a los anillos no conmutativos, [2] pero el tema se estudia con mayor frecuencia para los anillos conmutativos. Por lo tanto, se supone que los anillos de este artículo son anillos conmutativos con identidad.
Ejemplos y propiedades
- La definición se puede reformular de una manera más simétrica: un ideal es primario si, siempre que , tenemos o o . (Aquídenota el radical de.)
- Un Q ideal de R es primario si y solo si cada divisor cero en R / Q es nilpotente. (Compare esto con el caso de los ideales primos, donde P es primo si y solo si cada divisor de cero en R / P es realmente cero).
- Cualquier ideal primo es primario y, además, un ideal es primo si y solo si es primario y semiprimo .
- Todo ideal primario es primario . [3]
- Si Q es un ideales primaria, entonces el radical de Q es necesariamente un ideal primo P , y este ideal se llama el ideal primo asociado de Q . En esta situación, se dice que Q es P -primario .
- Por otro lado, un ideal cuyo radical es primo no es necesariamente primario: por ejemplo, si , , y , luego es primo y , pero tenemos , , y para todo n> 0, entonces no es primario. La descomposición primaria de es ; aquí es -primaria y es -primario.
- Un ideal cuyo radical es máximo , sin embargo, es primario.
- Cada ideales Q con radical P está contenida en un pequeño P ideales -primaria: todos los elementos de un tal que ax ∈ Q para algunos x ∉ P . El más pequeño P ideales -primaria que contiene P n se llama el n º poder simbólico de P .
- Por otro lado, un ideal cuyo radical es primo no es necesariamente primario: por ejemplo, si , , y , luego es primo y , pero tenemos , , y para todo n> 0, entonces no es primario. La descomposición primaria de es ; aquí es -primaria y es -primario.
- Si P es un ideal primo máximo, entonces cualquier ideal que contenga una potencia de P es P -primario. No todos los P- ideales primarios necesitan ser poderes de P ; por ejemplo el ideal ( x , y 2 ) es P -primaria por el ideal P = ( x , y ) en el anillo k [ x , y ], pero no es una potencia de P .
- Si A es un anillo noetheriano y P un ideal primo, entonces el núcleo de, el mapa de A a la localización de A en P , es la intersección de todos los P- ideales primarios. [4]
- Un producto finito no vacío de -los ideales primarios es -primaria pero un producto infinito de -los ideales primarios pueden no ser -primario; ya que, por ejemplo, en un anillo local noetheriano con máximo ideal, ( Teorema de la intersección de Krull ) donde cada es -primario. De hecho, en un anillo noetheriano, un producto no vacío de-ideales primarios es -primario si y solo si existe algún número entero tal que . [5]
Notas al pie
- ^ Para ser precisos, generalmente se usa este hecho para probar el teorema.
- ^ Véanse las referencias a Chatters-Hajarnavis, Goldman, Gorton-Heatherly y Lesieur-Croisot.
- ^ Para la prueba de la segunda parte, vea el artículo de Fuchs.
- ↑ Atiyah – Macdonald, Corolario 10.21
- ^ Bourbaki , cap. IV, § 2, Ejercicio 3.
Referencias
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, p. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
- Bourbaki, Algèbre conmutativo .
- Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1971), "Anillos no conmutativos con descomposición primaria", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 22 : 73–83, doi : 10.1093 / qmath / 22.1.73 , ISSN 0033-5606 , MR 0286822
- Goldman, Oscar (1969), "Anillos y módulos de cocientes", Journal of Algebra , 13 : 10–47, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90004-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0245608
- Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Anillos e ideales primarios generalizados", Mathematica Pannonica , 17 (1): 17-28, ISSN 0865-2090 , MR 2215638
- Sobre los ideales primarios , Ladislas Fuchs
- Lesieur, L .; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne non commutative (en francés), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, París, p. 119, MR 0155861
enlaces externos
- Ideal primario en Encyclopaedia of Mathematics