En matemáticas, la desigualdad de Askey-Gasper es una desigualdad para polinomios de Jacobi probada por Richard Askey y George Gasper ( 1976 ) y utilizada en la demostración de la conjetura de Bieberbach .
Declaración
Establece que si β ≥ 0, α + β ≥ −2 y −1 ≤ x ≤ 1 entonces
dónde
es un polinomio de Jacobi.
El caso en el que β = 0 también se puede escribir como
De esta forma, con α un entero no negativo, Louis de Branges utilizó la desigualdad en su demostración de la conjetura de Bieberbach .
Prueba
Ekhad ( 1993 ) dio una breve prueba de esta desigualdad, al combinar la identidad
con la desigualdad de Clausen .
Generalizaciones
Gasper y Rahman (2004 , 8.9) dan algunas generalizaciones de la desigualdad de Askey-Gasper a series hipergeométricas básicas .
Ver también
Referencias
- Askey, Richard ; Gasper, George (1976), "Sumas polinomiales positivas de Jacobi. II", American Journal of Mathematics , 98 (3): 709–737, doi : 10.2307 / 2373813 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373813 , MR 0430358
- Askey, Richard; Gasper, George (1986), "Desigualdades para polinomios", en Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert (eds.), La conjetura de Bieberbach (West Lafayette, Indiana, 1985) , Math. Surveys Monogr., 21 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 7-32, ISBN 978-0-8218-1521-2, MR 0875228
- Ekhad, Shalosh B. (1993), Delest, M .; Jacob, G .; Leroux, P. (eds.), "Una prueba WZ breve, elemental y fácil de la desigualdad de Askey-Gasper que fue utilizada por De Branges en su prueba de la conjetura de Bieberbach", Theoretical Computer Science , Conference on Formal Power Series y Combinatoria algebraica (Bordeaux, 1991), 117 (1): 199-202, doi : 10.1016 / 0304-3975 (93) 90313-I , ISSN 0304-3975 , MR 1235178
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Serie hipergeométrica básica , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521833574 , ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719