En matemáticas , una variedad 3 atoroidal es aquella que no contiene un toro esencial . Hay dos variaciones principales en esta terminología: un toro esencial puede definirse geométricamente, como un toro incrustado , paralelo sin límites , incompresible , o puede definirse algebraicamente, como un subgrupo. de su grupo fundamental que no está conjugado a un subgrupo periférico (es decir, la imagen del mapa en el grupo fundamental inducida por la inclusión de un componente de frontera). La terminología no está estandarizada y diferentes autores requieren 3 variedades atoroidales para satisfacer ciertas restricciones adicionales. Por ejemplo:
- Boris Apanasov ( 2000 ) da una definición de atoroidalidad que combina aspectos geométricos y algebraicos, en términos de mapas de un toro a la variedad y los mapas inducidos en el grupo fundamental. A continuación, observa que para las variedades tridimensionales irreductibles e incompresibles en los límites, esto da la definición algebraica. [1]
- Jean-Pierre Otal ( 2001 ) utiliza la definición algebraica sin restricciones adicionales. [2]
- Bennett Chow ( 2007 ) utiliza la definición geométrica, restringida a variedades irreducibles. [3]
- Michael Kapovich ( 2009 ) requiere la variante algebraica de variedades atoroidales (que él llama simplemente atoroideas) para evitar ser uno de los tres tipos de haces de fibras . Hace la misma restricción sobre las variedades geométricamente atoroidales (que él llama topológicamente atoroidales) y además las requiere para evitar botellas de Klein incrustadas paralelas a límites incompresibles . Con estas definiciones, los dos tipos de atoroidalidad son equivalentes excepto en ciertas variedades de Seifert . [4]
Un 3-múltiple que no es atoroidal se llama toroidal .
Referencias
- ^ Apanasov, Boris N. (2000), Geometría conformada de grupos discretos y colectores , Exposiciones de De Gruyter en matemáticas, 32 , Walter de Gruyter , p. 294, ISBN 9783110808056.
- ^ Otal, Jean-Pierre (2001), El teorema de hiperbolización para variedades de tres fibras , Matemáticas contemporáneas, 7 , American Mathematical Society , p. ix, ISBN 9780821821534.
- ^ Chow, Bennett (2007), The Ricci Flow: aspectos geométricos , estudios y monografías matemáticas , American Mathematical Society , p. 436, ISBN 9780821839461.
- ^ Kapovich, Michael (2009), Colectores hiperbólicos y grupos discretos , Progreso en matemáticas, 183 , Springer, p. 6, ISBN 9780817649135.