En la teoría matemática de grupos, el grupo de automorfismos de un grupo libre es un grupo discreto de automorfismos de un grupo libre . El cociente por los automorfismos internos es el grupo de automorfismos externos de un grupo libre , que es similar en algunos aspectos al grupo de clases de mapeo de una superficie .
Presentación
Jakob Nielsen ( 1924 ) mostró que los automorfismos definidos por las transformaciones elementales de Nielsen generan el grupo de automorfismos completo de un grupo libre finitamente generado. Nielsen, y más tarde Bernhard Neumann, utilizaron estas ideas para dar presentaciones finitas de los grupos de automorfismos de grupos libres. Esto también se describe en ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , p. 131, Th 3.2).
El grupo de automorfismo del grupo libre con base ordenada [ x 1 ,…, x n ] se genera mediante las siguientes 4 transformaciones elementales de Nielsen :
- Cambiar x 1 y x 2
- Permutar cíclicamente x 1 , x 2 ,…, x n , ax 2 ,…, x n , x 1 .
- Reemplazar x 1 con x 1 −1
- Reemplazar x 1 con x 1 · x 2
Estas transformaciones son análogas a las operaciones de fila elementales . Las transformaciones de los dos primeros tipos son análogas a los intercambios de filas y las permutaciones cíclicas de filas. Las transformaciones del tercer tipo corresponden a escalar una fila por un escalar invertible. Las transformaciones del cuarto tipo corresponden a adiciones de filas.
Las transformaciones de los dos primeros tipos son suficientes para permutar los generadores en cualquier orden, por lo que el tercer tipo puede aplicarse a cualquiera de los generadores y el cuarto tipo a cualquier par de generadores.
Nielsen dio una presentación finita bastante complicada usando estos generadores, descritos en ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , p. 165, Sección 3.5).
Referencias
- Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004), Combinatorial Group Theory , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6, MR 0207802
- Nielsen, Jakob (1921), "Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien", Math. Tidsskrift B (en danés), 1921 : 78–94, JFM 48.0123.03
- Nielsen, Jakob (1924), "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen". , Mathematische Annalen (en alemán), 91 : 169–209, doi : 10.1007 / BF01556078 , JFM 50.0078.04[ enlace muerto permanente ]
- Vogtmann, Karen (2002), "Automorfismos de grupos libres y espacio exterior" (PDF) , Actas de la Conferencia sobre teoría de grupos combinatoria y geométrica, Parte I (Haifa, 2000), Geometriae Dedicata , 94 : 1–31, doi : 10.1023 / A: 1020973910646 , ISSN 0046-5755 , MR 1950871