En matemáticas, y más precisamente en topología , el grupo de clases de mapeo de una superficie , a veces llamado grupo modular o grupo modular de Teichmüller , es el grupo de homeomorfismos de la superficie vista hasta una deformación continua (en la topología compacta-abierta ). Es de fundamental importancia para el estudio de 3 variedades a través de sus superficies incrustadas y también se estudia en geometría algebraica en relación con problemas de módulos para curvas.
El grupo de clases de mapeo se puede definir para variedades arbitrarias (de hecho, para espacios topológicos arbitrarios), pero la configuración bidimensional es la más estudiada en la teoría de grupos .
El grupo de superficies de la clase de mapeo está relacionado con varios otros grupos, en particular grupos de trenzas y grupos de automorfismos externos.
Historia
El grupo de la clase cartográfica apareció en la primera mitad del siglo XX. Sus orígenes se encuentran en el estudio de la topología de superficies hiperbólicas, y especialmente en el estudio de las intersecciones de curvas cerradas en estas superficies. Los primeros contribuyentes fueron Max Dehn y Jakob Nielsen : Dehn demostró la generación finita del grupo, [1] y Nielsen dio una clasificación de clases de mapeo y demostró que todos los automorfismos del grupo fundamental de una superficie pueden ser representados por homeomorfismos (el Dehn– Teorema de Nielsen-Baer).
La teoría de Dehn-Nielsen fue reinterpretada a mediados de los setenta por Thurston, quien le dio al sujeto un sabor más geométrico [2] y utilizó este trabajo con gran éxito en su programa para el estudio de las tres variedades.
Más recientemente, el grupo de clases de mapeo ha sido en sí mismo un tema central en la teoría de grupos geométricos , donde proporciona un campo de prueba para varias conjeturas y técnicas.
Definición y ejemplos
Grupo de clases de mapeo de superficies orientables
Dejar ser una superficie conectada , cerrada , orientable y el grupo de homeomorfismos positivos o que conservan la orientación de . Este grupo tiene una topología natural, la topología compacta-abierta. Se puede definir fácilmente mediante una función de distancia: si se nos da una métrica en induciendo su topología entonces la función definida por
es una distancia que induce la topología compacta-abierta en . El componente conectado de la identidad para esta topología se denota. Por definición es igual a los homeomorfismos deque son isotópicos para la identidad. Es un subgrupo normal del grupo de homeomorfismos positivos, y el grupo de clases de mapeo de es el grupo
- .
Este es un grupo contable .
Si modificamos la definición para incluir todos los homeomorfismos obtenemos el grupo de clases de mapeo extendido , que contiene el grupo de clases de mapeo como un subgrupo del índice 2.
Esta definición también se puede hacer en la categoría diferenciable: si reemplazamos todas las instancias de "homeomorfismo" anteriores con " difeomorfismo " obtenemos el mismo grupo, que es la inclusión induce un isomorfismo entre los cocientes por sus respectivos componentes de identidad.
Los grupos de clases de mapeo de la esfera y el toro.
Suponer que es la unidad de esfera en . Entonces cualquier homeomorfismo de es isotópico para la identidad o para la restricción de de la simetría en el plano . Este último no preserva la orientación y vemos que el grupo de clases de mapeo de la esfera es trivial, y su grupo de clases de mapeo extendido es, el grupo cíclico de orden 2.
El grupo de clases de mapeo del toro se identifica naturalmente con el grupo modular . Es fácil construir un morfismo.: cada induce un difeomorfismo de vía . La acción de los difeomorfismos sobre el primer grupo de homología de da un inverso a la izquierda al morfismo (demostrando en particular que es inyectable) y se puede comprobar que es inyectivo, de modo que son isomorfismos inversos entre y . [3] De la misma manera, el grupo de clases de mapeo extendido de es .
Mapeo de grupos de clases de superficies con límites y pinchazos
En el caso donde es una superficie compacta con un límite no vacío entonces la definición del grupo de clases de mapeo debe ser más precisa. El grupo de homeomorfismos relativos a la frontera es el subgrupo de que restringen a la identidad en el límite, y el subgrupo es el componente conectado de la identidad. El grupo de clases de mapeo se define entonces como
- .
Una superficie con pinchazos es una superficie compacta con un número finito de puntos eliminados ("pinchazos"). El grupo de clases de mapeo de dicha superficie se define como anteriormente (tenga en cuenta que las clases de mapeo pueden permutar las perforaciones, pero no los componentes de los límites).
Grupo de clases de mapeo de un anillo
Cualquier anillo es homeomorfo al subconjunto de . Se puede definir un difeomorfismo por la siguiente fórmula:
que es la identidad en ambos componentes de la frontera . El grupo de clases de mapeo de luego es generado por la clase de .
Grupos de trenzas y grupos de clases de mapeo
Los grupos de trenzas se pueden definir como los grupos de clases de mapeo de un disco con pinchazos. Más precisamente, el grupo de trenzas en n hebras es naturalmente isomorfo al grupo de clases de mapeo de un disco con n perforaciones. [4]
El teorema de Dehn-Nielsen-Baer
Si está cerrado y es un homeomorfismo de entonces podemos definir un automorfismo del grupo fundamental de la siguiente manera: arreglar una ruta Entre y y por un bucle basada en representando un elemento definir ser el elemento del grupo fundamental asociado al bucle . Este automorfismo depende de la elección de, pero solo hasta la conjugación. Así obtenemos un mapa bien definido de al grupo de automorfismo externo . Este mapa es un morfismo y su núcleo es exactamente el subgrupo. El teorema de Dehn-Nielsen-Baer establece que además es sobreyectivo. [5] En particular, implica que:
- El grupo de clases de mapeo extendido es isomorfo al grupo de automorfismos externos .
La imagen del grupo de clases de mapeo es un subgrupo de índice 2 del grupo de automorfismo externo, que puede caracterizarse por su acción sobre la homología.
La conclusión del teorema no se cumple cuando tiene un límite no vacío (excepto en un número finito de casos). En este caso, el grupo fundamental es un grupo libre y el grupo de automorfismo externo Out (Fn) es estrictamente mayor que la imagen del grupo de clases de mapeo a través del morfismo definido en el párrafo anterior. La imagen son exactamente esos automorfismos externos que preservan cada clase de conjugación en el grupo fundamental correspondiente a un componente de frontera.
La secuencia exacta de Birmania
Esta es una secuencia exacta que relaciona el grupo de superficies de la clase de mapeo con el mismo género y límite pero con un número diferente de perforaciones. Es una herramienta fundamental que permite utilizar argumentos recursivos en el estudio del mapeo de grupos de clases. Fue probado por Joan Birman en 1969. [6] La declaración exacta es la siguiente. [7]
- Dejar ser una superficie compacta y . Hay una secuencia exacta
- .
En el caso donde sí mismo tiene pinchazos en el grupo de clases de mapeo debe ser reemplazado por el subgrupo de índice finito de clases de mapeo fijando .
Elementos del grupo de clases de mapeo
Giros de Dehn
Si es una curva cerrada simple orientada en y se elige un barrio tubular cerrado entonces hay un homeomorfismo de al anillo canónico definido anteriormente, enviando a un círculo con la orientación en sentido antihorario . Esto se usa para definir un homeomorfismo. de de la siguiente manera: en es la identidad, y en es igual a . La clase de en el grupo de clases de mapeo no depende de la elección de hecho arriba, y el elemento resultante se llama el giro de Dehn sobre. Si no es nulo-homotópico, esta clase de mapeo no es trivial, y más generalmente los giros de Dehn definidos por dos curvas no homotópicas son elementos distintos en el grupo de clases de mapeo.
En el grupo de clases de mapeo del toro identificado con los giros de Dehn corresponden a matrices unipotentes. Por ejemplo, la matriz
corresponde al giro de Dehn alrededor de una curva horizontal en el toro.
La clasificación de Nielsen-Thurston
Existe una clasificación de las clases de mapeo en una superficie, originalmente debida a Nielsen y redescubierta por Thurston, que se puede enunciar de la siguiente manera. Un elemento es cualquiera:
- de orden finito (es decir, existe tal que es la identidad),
- reducible: existe un conjunto de curvas cerradas disjuntas en que se conserva por la acción de ;
- o pseudo-Anosov.
El contenido principal del teorema es que una clase de mapeo que no es de orden finito ni reducible debe ser pseudo-Anosov, que puede definirse explícitamente mediante propiedades dinámicas. [8]
Diffeomorfismos pseudo-Anosov
El estudio de los difeomorfismos pseudo-Anosov de una superficie es fundamental. Son los difeomorfismos más interesantes, ya que las clases de mapeo de orden finito son isotópicas a las isometrías y, por lo tanto, se entienden bien, y el estudio de clases reducibles de hecho se reduce esencialmente al estudio de clases de mapeo en superficies más pequeñas que pueden ser de orden finito o pseudo- Anosov.
Las clases de mapeo pseudo-Anosov son "genéricas" en el grupo de clases de mapeo de varias formas. Por ejemplo, una caminata aleatoria en el grupo de clases de mapeo terminará en un elemento pseudo-Anosov con una probabilidad que tiende a 1 a medida que aumenta el número de pasos.
Acciones del grupo de clases de mapeo
Acción sobre el espacio de Teichmüller
Dada una superficie perforada (generalmente sin límite) el espacio de Teichmüller es el espacio de estructuras complejas marcadas (equivalentemente, conformes o hiperbólicas completas) en . Estos están representados por parejas dónde es una superficie de Riemann yun homeomorfismo, módulo una relación de equivalencia adecuada. Hay una acción obvia del grupo. en tales pares, que desciende a una acción de sobre el espacio Teichmüller.
Esta acción tiene muchas propiedades interesantes; por ejemplo, es propiamente discontinuo (aunque no gratuito ). Es compatible con diversas estructuras geométricas (métricas o complejas) con las quepuede ser dotado. En particular, la métrica de Teichmüller se puede utilizar para establecer algunas propiedades a gran escala del grupo de clases de mapeo, por ejemplo, que los planos máximos cuasi-isométricamente incrustados en son de dimensión . [9]
La acción se extiende al límite de Thurston del espacio de Teichmüller, y la clasificación de Nielsen-Thurston de clases de mapeo se puede ver en las propiedades dinámicas de la acción en el espacio de Teichmüller junto con su límite de Thurston. A saber: [10]
- Los elementos de orden finito fijan un punto dentro del espacio de Teichmüller (más concretamente esto significa que cualquier clase de mapeo de orden finito en puede realizarse como una isometría para alguna métrica hiperbólica en );
- Las clases pseudo-Anosov fijan los dos puntos en el límite correspondientes a su foliación estable e inestable y la acción es mínima (tiene una órbita densa) en el límite;
- Las clases reducibles no actúan mínimamente en el límite.
Acción sobre el complejo de curvas
El complejo de curvas de una superficie es un complejo cuyos vértices son clases de isotopías de curvas cerradas simples en . La acción de los grupos de clases de mapeoen los vértices se traslada al complejo completo. La acción no es propiamente discontinua (el estabilizador de una curva cerrada simple es un grupo infinito).
Esta acción, junto con las propiedades combinatorias y geométricas del complejo de curvas, se puede utilizar para probar varias propiedades del grupo de clases de mapeo. [11] En particular, explica algunas de las propiedades hiperbólicas del grupo de clases de mapeo: mientras que como se mencionó en la sección anterior, el grupo de clases de mapeo no es un grupo hiperbólico, tiene algunas propiedades que recuerdan esos.
Otros complejos con una acción de grupo de clase de mapeo
Complejo de pantalones
El complejo de pantalones de una superficie compacta.es un complejo cuyos vértices son las descomposiciones en pantalones de(clases de isotopía de sistemas máximos de curvas cerradas simples disjuntas). La acción dese extiende a una acción sobre este complejo. Este complejo es cuasi-isométrico para el espacio de Teichmüller dotado de la métrica de Weil-Petersson . [12]
Marcas complejas
Los estabilizadores de la acción del grupo de clase cartográfica en los complejos de curvas y pantalones son bastante grandes. El complejo de marcas es un complejo cuyos vértices son marcas de, sobre los cuales actúan y tienen estabilizadores triviales en el grupo de clases de mapeo . Es (en oposición al complejo de curvas o pantalones) un complejo localmente finito que es cuasi-isométrico para el grupo de clases de mapeo. [13]
Una marca [a] está determinada por la descomposición de los pantalones. y una colección de curvas transversales tal que cada uno de los intersecta a lo sumo uno de los , y esto "mínimamente" (esta es una condición técnica que se puede establecer de la siguiente manera: si están contenidos en un subsuperficio homeomórfico a un toro, entonces se cruzan una vez, y si la superficie es una esfera de cuatro agujeros, se cruzan dos veces). Dos marcas distintas están unidas por un borde si difieren por un "movimiento elemental", y el complejo completo se obtiene agregando todos los posibles simplices de dimensiones superiores.
Generadores y relaciones para mapear grupos de clases.
El teorema de Dehn-Lickorish
El grupo de clases de mapeo se genera mediante el subconjunto de giros de Dehn sobre todas las curvas cerradas simples en la superficie. El teorema de Dehn-Lickorish establece que es suficiente seleccionar un número finito de esos para generar el grupo de clases de mapeo. [14] Esto generaliza el hecho de que es generado por las matrices
- .
En particular, el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo generado de forma finita .
El menor número de giros de Dehn que puede generar el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada de género. es ; esto fue probado más tarde por Humphries.
Presentabilidad finita
Es posible probar que todas las relaciones entre los giros de Dehn en un conjunto generador para el grupo de clases de mapeo se pueden escribir como combinaciones de un número finito entre ellos. Esto significa que el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo presentado de forma finita .
Una forma de demostrar este teorema es deducirlo de las propiedades de la acción del grupo de clases de mapeo en el complejo de pantalones: se ve que el estabilizador de un vértice se presenta de forma finita y la acción es cofinita. Dado que el complejo está conectado y simplemente conectado, se deduce que el grupo de clases de mapeo debe generarse de manera finita. Hay otras formas de obtener presentaciones finitas, pero en la práctica la única que produce relaciones explícitas para todos los geni es la descrita en este párrafo con un complejo ligeramente diferente en lugar del complejo de curvas, llamado complejo del sistema de corte . [15]
Un ejemplo de una relación entre los giros de Dehn que ocurre en esta presentación es la relación de la linterna .
Otros sistemas de generadores
Hay otros sistemas interesantes de generadores para el grupo de clases de mapeo además de los giros de Dehn. Por ejemplo,puede ser generado por dos elementos [16] o por involuciones. [17]
Cohomología del grupo de clases de mapeo
Si es una superficie de género con componentes de frontera y perfora entonces la dimensión cohomológica virtual de es igual a .
La primera homología del grupo de clases de mapeo es finita [18] y se deduce que el primer grupo de cohomología también es finito.
Subgrupos de los grupos de clases de mapeo
El subgrupo Torelli
Como la homología singular es funcional, el grupo de clases de mapeo actúa por automorfismos sobre el primer grupo de homología . Este es un grupo abeliano gratuito de rango Si está cerrado de género . Esta acción da así una representación lineal .
Este mapa es de hecho una sobreyección con una imagen igual a los puntos enteros. del grupo simpléctico . Esto proviene del hecho de que el número de intersección de curvas cerradas induce una forma simpléctica en la primera homología, que se conserva mediante la acción del grupo de clases de mapeo. La sobrejetividad se demuestra al mostrar que las imágenes de los giros de Dehn generan. [19]
El núcleo del morfismo se llama el grupo Torelli de. Es un subgrupo libre de torsión, generado finitamente [20] y su estudio es de fundamental importancia por su relación tanto con la estructura del propio grupo de clases de mapeo (ya que el grupo aritmético es comparativamente muy bien entendido, muchos hechos sobre se reduce a una declaración sobre su subgrupo Torelli) y aplicaciones a la topología tridimensional y la geometría algebraica.
Finitud residual y subgrupos de índice finito
Un ejemplo de aplicación del subgrupo Torelli es el siguiente resultado:
- El grupo de clases de mapeo es residualmente finito .
La demostración procede primero usando la finitud residual del grupo lineal , y luego, para cualquier elemento no trivial del grupo Torelli, construir por medios geométricos subgrupos de índice finito que no lo contengan. [21]
Los núcleos de los morfismos dan una clase interesante de subgrupos de índice finito:
El núcleo de se suele llamar un subgrupo de congruencia de. Es un grupo libre de torsión para todos. (esto se deduce fácilmente de un resultado clásico de Minkowski sobre grupos lineales y del hecho de que el grupo de Torelli está libre de torsión).
Subgrupos finitos
El grupo de clases de mapeo tiene solo un número finito de clases de grupos finitos, como se deduce del hecho de que el subgrupo de índice finito es libre de torsión, como se discutió en el párrafo anterior. Además, esto también implica que cualquier subgrupo finito de es un subgrupo del grupo finito .
También se puede obtener una cota del orden de subgrupos finitos por medios geométricos. La solución al problema de la realización de Nielsen implica que cualquier grupo de este tipo se realiza como el grupo de isometrías de una superficie hiperbólica de género. El límite de Hurwitz implica entonces que el orden máximo es igual a.
Datos generales sobre subgrupos
Los grupos de clases de mapeo satisfacen la alternativa de Tits : es decir, cualquier subgrupo de ellos contiene un subgrupo libre no abeliano o es virtualmente solucionable (de hecho, abeliano). [22]
Cualquier subgrupo que no sea reducible (es decir, que no conserve un conjunto de clases de isotopía de curvas cerradas simples disjuntas) debe contener un elemento pseudo-Anosov. [23]
Representaciones lineales
Es una pregunta abierta si el grupo de clases de mapeo es un grupo lineal o no. Además de la representación simpléctica de la homología explicada anteriormente, existen otras interesantes representaciones lineales de dimensión finita que surgen de la teoría de campos cuánticos topológicos . Las imágenes de estas representaciones están contenidas en grupos aritméticos que no son simplécticos, lo que permite construir muchos más cocientes finitos de. [24]
En la otra dirección hay un límite inferior para la dimensión de una representación fiel (putativa), que tiene que ser al menos . [25]
Notas
- ^ Describimos aquí sólomarcas"limpias, completas" (en la terminología de Masur y Minsky (2000) ).
Citas
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Fuentes
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