En matemáticas , la ecuación característica (o ecuación auxiliar [1] ) es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial [2] o ecuación en diferencia de n -ésimo orden dada . [3] [4] La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o en diferencia es lineal y homogénea , y tiene coeficientes constantes . [1] Tal ecuación diferencial, con y como elvariable dependiente , superíndice ( n ) que denota n -ésimo -derivado, y a n , a n - 1 , ..., a 1 , a 0 como constantes ,
cuyas soluciones r 1 , r 2 , ..., r n son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general . [1] [5] [6] De manera análoga, una ecuación en diferencia lineal de la forma
discutido con más detalle en Recurrencia lineal con coeficientes constantes # Solución al caso homogéneo .
Las raíces características (raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución es descrita por la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones en diferencias, hay estabilidad si y solo si el módulo ( valor absoluto ) de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas .
Leonhard Euler descubrió el método de integrar ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes , y descubrió que las soluciones dependían de una ecuación "característica" algebraica. [2] Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas con mayor detalle más tarde por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge . [2] [6]
Partiendo de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes a n , a n - 1 , ..., a 1 , a 0 ,