En la mecánica del continuo , Whitham de un promedio de Lagrangian método - o en corto el método de Whitham - se utiliza para estudiar las dinámicas de Lagrange de que varía lentamente trenes de ondas en un no homogénea (en movimiento) medio . El método es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales . Como consecuencia directa del promedio utilizado en el método, la acción de las olas es una propiedad conservada del movimiento de las olas. Por el contrario, la energía de las olasno se conserva necesariamente, debido al intercambio de energía con el movimiento medio. Sin embargo, la energía total, la suma de las energías en el movimiento ondulatorio y el movimiento medio, se conservará para un Lagrangiano invariante en el tiempo . Además, el lagrangiano promedio tiene una fuerte relación con la relación de dispersión del sistema.
El método se debe a Gerald Whitham , quien lo desarrolló en la década de 1960. Se utiliza, por ejemplo, en el modelado de ondas gravitatorias superficiales en interfaces de fluidos , [1] [2] y en la física del plasma . [3] [4]
Ecuaciones resultantes para el movimiento ondulatorio puro
En caso de que se disponga de una formulación lagrangiana de un sistema de mecánica continua , se puede utilizar la metodología lagrangiana promediada para encontrar aproximaciones para la dinámica promedio del movimiento ondulatorio - y (eventualmente) para la interacción entre el movimiento ondulatorio y el movimiento medio - asumiendo la envolvente La dinámica de las ondas portadoras varía lentamente . El promedio de fase del Lagrangiano da como resultado un Lagrangiano promedio , que siempre es independiente de la fase de onda en sí (pero depende de cantidades de onda que varían lentamente, como la amplitud de onda , la frecuencia y el número de onda ). Según el teorema de Noether , variación del lagrangiano promediocon respecto a la fase de onda invarianteluego da lugar a una ley de conservación : [5]
( 1 )
Esta ecuación establece la conservación de la acción de las olas - una generalización del concepto de un invariante adiabático a la mecánica del continuo - con [6]
- y
siendo la acción de las olas y flujo de acción de las olas respectivamente. Más y denotan espacio y tiempo respectivamente, mientras que es el operador de gradiente . La frecuencia angular y número de onda se definen como [7]
y
( 2 )
y se supone que ambos varían lentamente. Debido a esta definición, y tienen que satisfacer las relaciones de consistencia:
y
( 3 )
La primera ecuación de consistencia se conoce como la conservación de las crestas de las olas , y la segunda establece que el campo del número de ondaes irrotacional (es decir, tiene cero rizos ).
Método
El enfoque lagrangiano promediado se aplica al movimiento ondulatorio, posiblemente superpuesto a un movimiento medio, que puede describirse en una formulación lagrangiana . Usando un ansatz en la forma de la parte de onda del movimiento, el Lagrangiano se promedia en fase . Dado que el Lagrangiano está asociado con la energía cinética y la energía potencial del movimiento, las oscilaciones contribuyen al Lagrangiano, aunque el valor medio de la excursión oscilatoria de la onda es cero (o muy pequeño).
El Lagrangiano promediado resultante contiene características de onda como el número de onda , la frecuencia angular y la amplitud (o, de manera equivalente, la densidad de energía de la onda o la acción de la onda ). Pero la fase de onda en sí está ausente debido al promedio de fase. En consecuencia, a través del teorema de Noether , existe una ley de conservación llamada conservación de la acción de las olas.
Originalmente, Whitham desarrolló el método lagrangiano promediado para trenes de ondas dispersivas de variación lenta . [8] Se han realizado varias extensiones, por ejemplo, a los componentes de onda que interactúan, [9] [10] mecánica hamiltoniana , [8] [11] efectos de modulación de orden superior , [12] efectos de disipación . [13]
Formulación variacional
El método lagrangiano promedio requiere la existencia de un lagrangiano que describa el movimiento de las ondas. Por ejemplo para un campo , descrito por una densidad lagrangiana el principio de acción estacionaria es: [14]
con el operador de gradiente yel operador derivado del tiempo . Este principio de acción da como resultado la ecuación de Euler-Lagrange : [14]
que es la ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la dinámica deLas ecuaciones diferenciales parciales de orden superior requieren la inclusión de derivadas superiores a las de primer orden en el Lagrangiano. [14]
- Ejemplo
Por ejemplo, considere una ecuación de Klein-Gordon no dimensional y no lineal en una dimensión espacial: [15]
( 4 )
Esta ecuación de Euler-Lagrange surge de la densidad de Lagrange: [15]
( 5 )
La aproximación de pequeña amplitud para la ecuación de Sine-Gordon corresponde con el valor[16] Parael sistema es lineal y se obtiene la clásica ecuación unidimensional de Klein-Gordon.
Olas de variación lenta
Ondas lineales de variación lenta
Whitham desarrolló varios enfoques para obtener un método lagrangiano promedio. [14] [17] El método más simple es para trenes de ondas lineales de variación lenta , método que se aplicará aquí. [14]
El tren de ondas de variación lenta, sin movimiento medio, en un sistema dispersivo lineal se describe como: [18]
- con y
dónde es la fase de onda de valor real ,denota el valor absoluto de la amplitud de valor complejo tiempo es su argumento ydenota su parte real . La amplitud de valor real y el desplazamiento de fase se denotan por y respectivamente.
Ahora, por definición , la frecuencia angular y vector de número de ondase expresan como la derivada del tiempo y el gradiente de la fase de ondacomo: [7]
- y
Como consecuencia, y tienen que satisfacer las relaciones de consistencia:
- y
Estas dos relaciones de consistencia denotan la "conservación de las crestas de las olas" y la irrotacionalidad del campo de números de onda.
Debido a la suposición de variaciones lentas en el tren de ondas, así como en un posible medio no homogéneo y movimiento medio, las cantidades y todos varían lentamente en el espacio y tiempo - pero la fase de onda en sí mismo no varía lentamente. En consecuencia, las derivadas de y se descuidan en la determinación de las derivadas de para uso en el lagrangiano promedio: [14]
- y
A continuación, estas suposiciones sobre y sus derivados se aplican a la densidad lagrangiana
Ondas no lineales de variación lenta
Son posibles varios enfoques para trenes de ondas no lineales de variación lenta. Una es mediante el uso de expansiones de Stokes , [19] utilizadas por Whitham para analizar ondas de Stokes de variación lenta . [20] Una expansión de Stokes del campose puede escribir como: [19]
donde las amplitudes etc. varían lentamente, al igual que las fases etc. En cuanto al caso de onda lineal, en el orden más bajo (en lo que respecta a los efectos de modulación ) se desprecian las derivadas de amplitudes y fases, excepto las derivadas. y de la fase rápida
- y
Estas aproximaciones se aplicarán en la densidad lagrangiana. , y su fase promedio
Lagrangiano promedio para ondas de variación lenta
Para un movimiento ondulatorio puro, el Lagrangiano se expresa en términos del campo y sus derivados. [14] [17] En el método lagrangiano promedio, las suposiciones dadas anteriormente en el campo- y sus derivados - se aplican para calcular el Lagrangiano. El Lagrangiano se promedia a partir de entonces sobre la fase de onda.[14]
Como último paso, este resultado promedio se puede expresar como la densidad lagrangiana promedio - que es una función de los parámetros que varían lentamente y e independiente de la fase de onda sí mismo. [14]
La densidad lagrangiana promedio Whitham ahora propone que siga el principio de variación promedio : [14]
De las variaciones de siga las ecuaciones dinámicas para las propiedades de onda que varían lentamente.
- Ejemplo
Continuando con el ejemplo de la ecuación no lineal de Klein-Gordon, consulte las ecuaciones 4 y 5 , y aplique las aproximaciones anteriores para y (para este ejemplo 1D) en la densidad de Lagrange, el resultado después de promediar sobre es:
donde se ha asumido que, en notación O grande , y . Variación de con respecto a lleva a Entonces, el lagrangiano promedio es:
( 6 )
Para el movimiento de onda lineal, el lagrangiano promedio se obtiene estableciendo igual a cero.
Conjunto de ecuaciones que surgen del lagrangiano promediado
Aplicando el principio lagrangiano promediado, variación con respecto a la fase de onda conduce a la conservación de la acción de las olas:
desde y mientras que la fase de onda no aparece en la densidad lagrangiana promedio debido al promedio de fase. Definiendo la acción de las olas como y el flujo de acción de las olas como el resultado es:
La ecuación de la acción de las olas va acompañada de las ecuaciones de consistencia para y que son:
- y
Variación con respecto a la amplitud conduce a la relación de dispersión
- Ejemplo
Continuando con la ecuación no lineal de Klein-Gordon, usando el principio de variación promedio en la ecuación 6 , la ecuación de acción de las olas se convierte por variación con respecto a la fase de las olas.
y la relación de dispersión no lineal se deriva de la variación con respecto a la amplitud
Entonces la acción de las olas es y el flujo de acción de las olas La velocidad del grupo es
Movimiento medio y pseudo-fase
Conservación de la acción de las olas
El lagrangiano promedio se obtiene mediante la integración del lagrangiano sobre la fase de onda . Como resultado, el lagrangiano promedio solo contiene las derivadas de la fase de onda(estas derivadas son, por definición, la frecuencia angular y el número de onda) y no depende de la fase de onda en sí. Por tanto, las soluciones serán independientes de la elección del nivel cero para la fase de onda. En consecuencia - por el teorema de Noether - variación del promedio de Lagrangecon respecto a la fase de onda resulta en una ley de conservación :
dónde
- y
con la acción de las olas yel flujo de acción de las olas . Másdenota la derivada parcial con respecto al tiempo, yes el operador de gradiente . Por definición, la velocidad del grupo es dado por:
Tenga en cuenta que, en general, no es necesario conservar la energía del movimiento de las olas, ya que puede haber un intercambio de energía con un flujo medio. La energía total, la suma de las energías del movimiento de las olas y el flujo medio, se conserva (cuando no hay trabajo de fuerzas externas y no hay disipación de energía ).
La conservación de la acción de las olas también se encuentra aplicando el método de la media lagrangiana generalizada (GLM) a las ecuaciones del flujo combinado de ondas y el movimiento medio, utilizando la mecánica newtoniana en lugar de un enfoque variacional. [21]
Conservación de energía e impulso
Conexión a la relación de dispersión
El movimiento de onda puro por modelos lineales siempre conduce a una densidad lagrangiana promedio de la forma: [14]
En consecuencia, la variación con respecto a la amplitud: da
Entonces, esta resulta ser la relación de dispersión para las ondas lineales, y el Lagrangiano promedio para las ondas lineales es siempre la función de dispersión. multiplicado por la amplitud al cuadrado.
De manera más general, para ondas débilmente no lineales y de modulación lenta que se propagan en una dimensión espacial e incluyen efectos de dispersión de orden superior, sin descuidar las derivadas del tiempo y el espacio. y de la amplitud al tomar derivados, donde es un pequeño parámetro de modulación - la densidad lagrangiana promedio es de la forma: [22]
con las variables lentas y
Referencias
Notas
- ^ Grimshaw (1984)
- ^ Janssen (2004 , págs. 16-24)
- ^ Dewar (1970)
- ^ Craik (1988 , p. 17)
- ^ Whitham (1974 , págs. 395–397)
- ^ Bretherton y Garrett (1968)
- ↑ a b Whitham (1974 , p. 382)
- ↑ a b Whitham (1965)
- ^ Simmons (1969)
- ^ Willebrand (1975)
- ↑ Hayes (1973)
- ↑ Yuen y Lake (1975)
- ^ Jiménez y Whitham (1976)
- ^ a b c d e f g h i j k Whitham (1974 , págs. 390–397)
- ↑ a b Whitham (1974 , págs. 522–523)
- ↑ Whitham (1974 , p. 487)
- ↑ a b Whitham (1974 , págs. 491–510)
- ↑ Whitham (1974 , p. 385)
- ↑ a b Whitham (1974 , p. 498)
- ↑ Whitham (1974 , §§16.6–16.13)
- ^ Andrews y McIntyre (1978)
- ^ Whitham (1974 , págs. 522-526)
Publicaciones de Whitham sobre el método
Se puede encontrar una descripción general en el libro:
- Whitham, GB (1974), ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-94090-9
Algunas publicaciones de Whitham sobre el método son:
- Whitham, GB (1965), "Un enfoque general de las ondas dispersivas lineales y no lineales usando un Lagrangiano", Journal of Fluid Mechanics , 22 (2): 273-283, Bibcode : 1965JFM .... 22..273W , doi : 10.1017 / S0022112065000745
- —— (1967a). "Dispersión no lineal de ondas de agua". Revista de Mecánica de Fluidos . 27 (2): 399–412. Código bibliográfico : 1967JFM .... 27..399W . doi : 10.1017 / S0022112067000424 .
- —— (1967b), "Métodos variacionales y aplicaciones a las ondas de agua", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 299 (1456): 6–25, Bibcode : 1967RSPSA.299 .... 6W , doi : 10.1098 / rspa.1967.0119
- —— (1970), "Dos tiempos, principios variacionales y ondas" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 44 (2): 373–395, Bibcode : 1970JFM .... 44..373W , doi : 10.1017 / S002211207000188X
- Jiménez, J .; Whitham, GB (1976), "Un método lagrangiano promediado para trenes de ondas disipativos", Actas de la Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 349 (1658): 277-287, Bibcode : 1976RSPSA.349..277J , doi : 10.1098 / rspa.1976.0073
Otras lecturas
- Andrews, DG; McIntyre, ME (1978), "Sobre la acción de las olas y sus parientes" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 89 (4): 647–664, Bibcode : 1978JFM .... 89..647A , doi : 10.1017 / S0022112078002785
- Badin, G .; Crisciani, F. (2018). Formulación Variacional de Fluidos y Dinámica de Fluidos Geofísica - Mecánica, Simetrías y Leyes de Conservación - . Saltador. pag. 218. doi : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
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