Introducida por el matemático y astrónomo italo-francés Joseph-Louis Lagrange en 1788, la mecánica de Lagrange es una formulación de la mecánica clásica y se basa en el principio de acción estacionaria .
La mecánica de Lagrange define un sistema mecánico como un par de un espacio de configuración y una función suave llamado lagrangiano . Por convención, dónde y son la energía cinética y potencial del sistema, respectivamente. Aquí y es el vector de velocidad en es tangencial a (Para aquellos familiarizados con paquetes tangentes , y
Dado los instantes de tiempo y La mecánica de Lagrange postula que un camino suave describe la evolución temporal del sistema dado si y solo si es un punto estacionario de la acción funcional
Si es un subconjunto abierto de y son finitos, entonces el camino suave es un punto estacionario de si todas sus derivadas direccionales en desaparecer, es decir, por cada suave
La función en el lado derecho se llama perturbación o desplazamiento virtual . La derivada direccionala la izquierda se conoce como variación en física y derivada de Gateaux en matemáticas.
La mecánica de Lagrange se ha ampliado para permitir fuerzas no conservadoras .
Introducción
Supongamos que existe una cuenta que se desliza sobre un alambre, o un péndulo simple que se balancea , etc. Si uno sigue cada uno de los objetos masivos (cuenta, péndulo, etc.) como una partícula, calcule el movimiento de la partícula usando la mecánica newtoniana requeriría resolver la fuerza de restricción variable en el tiempo requerida para mantener la partícula en el movimiento restringido (fuerza de reacción ejercida por el alambre sobre la cuenta, o tensión en la varilla del péndulo). Para el mismo problema usando la mecánica de Lagrange, uno mira el camino que puede tomar la partícula y elige un conjunto conveniente de coordenadas generalizadas independientes que caracterizan completamente el posible movimiento de la partícula. Esta elección elimina la necesidad de que la fuerza de restricción entre en el sistema de ecuaciones resultante. Hay menos ecuaciones ya que no se calcula directamente la influencia de la restricción sobre la partícula en un momento dado.
Para una amplia variedad de sistemas físicos, si el tamaño y la forma de un objeto masivo son insignificantes, es una simplificación útil tratarlo como una partícula puntual . Para un sistema de N partículas puntuales con masas m 1 , m 2 , ..., m N , cada partícula tiene un vector de posición , denotado r 1 , r 2 , ..., r N . Las coordenadas cartesianas suelen ser suficientes, por lo que r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) y así sucesivamente. En el espacio tridimensional , cada vector de posición requiere tres coordenadas para definir de forma única la ubicación de un punto, por lo que hay 3 N coordenadas para definir de forma única la configuración del sistema. Todos estos son puntos específicos en el espacio para localizar las partículas; un punto general en el espacio se escribe r = ( x , y , z ). La velocidad de cada partícula es qué tan rápido se mueve la partícula a lo largo de su trayectoria de movimiento, y es la derivada de su posición en el tiempo, por lo tanto
En lugar de fuerzas, la mecánica de Lagrange utiliza las energías del sistema. La cantidad central de la mecánica lagrangiana es la lagrangiana , una función que resume la dinámica de todo el sistema. En general, el Lagrangiano tiene unidades de energía, pero ninguna expresión única para todos los sistemas físicos. Cualquier función que genere las ecuaciones de movimiento correctas, de acuerdo con las leyes físicas, puede tomarse como lagrangiana. No obstante, es posible construir expresiones generales para grandes clases de aplicaciones. El lagrangiano no relativista para un sistema de partículas se puede definir por [1]
dónde
es la energía cinética total del sistema, igual a la suma Σ de las energías cinéticas de las partículas, [2] y V es la energía potencial del sistema.
La energía cinética es la energía del movimiento del sistema y v k 2 = v k · v k es la magnitud al cuadrado de la velocidad, equivalente al producto escalar de la velocidad consigo misma. La energía cinética es función solo de las velocidades v k , no de las posiciones r k ni del tiempo t , por lo que T = T ( v 1 , v 2 , ...).
La energía potencial del sistema refleja la energía de interacción entre las partículas, es decir, cuánta energía tendrá una partícula debido a todas las demás y otras influencias externas. Para fuerzas conservativas (por ejemplo, gravedad newtoniana ), es una función de los vectores de posición de las partículas únicamente, por lo que V = V ( r 1 , r 2 , ...). Para aquellas fuerzas no conservadoras que pueden derivarse de un potencial apropiado (por ejemplo, potencial electromagnético ), las velocidades aparecerán también, V = V ( r 1 , r 2 , ..., v 1 , v 2 , ...) . Si hay algún campo externo o fuerza impulsora externa que cambia con el tiempo, el potencial cambiará con el tiempo, por lo que generalmente V = V ( r 1 , r 2 , ..., v 1 , v 2 , ..., t ) .
La forma anterior de L no se sostiene en la mecánica relativista de Lagrange y debe ser reemplazada por una función consistente con la relatividad especial o general. Además, para las fuerzas disipativas otra función debe introducirse la L .
Una o más de las partículas pueden estar sujetas cada una a una o más limitaciones holonómicas ; tal restricción se describe mediante una ecuación de la forma f ( r , t ) = 0. Si el número de restricciones en el sistema es C , entonces cada restricción tiene una ecuación, f 1 ( r , t ) = 0, f 2 ( r , t ) = 0, ... f C ( r , t ) = 0, cada uno de los cuales podría aplicarse a cualquiera de las partículas. Si la partícula k está sujeta a la restricción i , entonces f i ( r k , t ) = 0. En cualquier instante de tiempo, las coordenadas de una partícula restringida están vinculadas entre sí y no son independientes. Las ecuaciones de restricción determinan las trayectorias permitidas por las que pueden moverse las partículas, pero no dónde están ni qué tan rápido van en cada instante. Las restricciones no holonómicas dependen de las velocidades, aceleraciones o derivadas superiores de posición de las partículas. La mecánica de Lagrange solo se puede aplicar a sistemas cuyas restricciones, si las hay, son todas holonómicas . Tres ejemplos de restricciones no holonómicas son: [3] cuando las ecuaciones de restricción no son integrables, cuando las restricciones tienen desigualdades o con fuerzas no conservadoras complicadas como la fricción. Las restricciones no holonómicas requieren un tratamiento especial, y uno puede tener que volver a la mecánica newtoniana o utilizar otros métodos.
Si T o V o ambos dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones que varían en el tiempo o influencias externas, el Lagrangiano L ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ... t ) es explícitamente dependiente del tiempo . Si ni el potencial ni la energía cinética dependen del tiempo, entonces el Lagrangiano L ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ...) es explícitamente independiente del tiempo . En cualquier caso, el lagrangiano siempre tendrá una dependencia temporal implícita a través de las coordenadas generalizadas.
Con estas definiciones, las ecuaciones de Lagrange del primer tipo son [4]
donde k = 1, 2, ..., N etiqueta las partículas, hay un multiplicador de Lagrange λ i para cada ecuación de restricción f i , y
son cada una de las abreviaturas de un vector de derivadas parciales ∂ / ∂ con respecto a las variables indicadas (no una derivada con respecto al vector completo). [nb 1] Cada overdot es una abreviatura de una derivada de tiempo . Este procedimiento aumenta el número de ecuaciones a resolver en comparación con las leyes de Newton, de 3 N a 3 N + C , porque hay 3 N ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas en las coordenadas de posición y multiplicadores, más C ecuaciones de restricción. Sin embargo, cuando se resuelven junto con las coordenadas de posición de las partículas, los multiplicadores pueden proporcionar información sobre las fuerzas restrictivas. No es necesario eliminar las coordenadas resolviendo las ecuaciones de restricción.
En el Lagrangiano, las coordenadas de posición y los componentes de velocidad son todas variables independientes , y las derivadas del Lagrangiano se toman con respecto a estas por separado de acuerdo con las reglas de diferenciación habituales (por ejemplo, la derivada de L con respecto al componente de velocidad z de la partícula 2 , v z 2 = d z 2 / d t , es solo eso; no es necesario utilizar reglas de cadena incómodas o derivadas totales para relacionar el componente de velocidad con la coordenada correspondiente z 2 ).
En cada ecuación de restricción, una coordenada es redundante porque se determina a partir de las otras coordenadas. El número de independientes , por tanto, coordenadas es n = 3 N - C . Podemos transformar cada vector de posición en un conjunto común de n coordenadas generalizadas , convenientemente escrito como una n- tupla q = ( q 1 , q 2 , ... q n ), expresando cada vector de posición, y por lo tanto las coordenadas de posición, como funciones de las coordenadas generalizadas y el tiempo,
El vector q es un punto en el espacio de configuración del sistema. Las derivadas en el tiempo de las coordenadas generalizadas se denominan velocidades generalizadas, y para cada partícula la transformación de su vector de velocidad, la derivada total de su posición con respecto al tiempo, es
Dado este v k , la energía cinética en coordenadas generalizadas depende de las velocidades generalizadas, las coordenadas generalizadas y el tiempo si los vectores de posición dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones que varían en el tiempo, por lo que T = T ( q , d q / d t , t ).
Con estas definiciones, las ecuaciones de Euler-Lagrange , o las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo [5] [6]
son resultados matemáticos del cálculo de variaciones , que también se pueden utilizar en mecánica. Sustituyendo en el Lagrangiano L ( q , d q / d t , t ), se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema. El número de ecuaciones ha disminuido en comparación con la mecánica de Newton, de 3 N a n = 3 N - C acoplado ecuaciones diferenciales de segundo orden en las coordenadas generalizadas. Estas ecuaciones no incluyen fuerzas restrictivas en absoluto, solo deben tenerse en cuenta las fuerzas no restrictivas.
Aunque las ecuaciones de movimiento incluyen derivadas parciales , los resultados de las derivadas parciales siguen siendo ecuaciones diferenciales ordinarias en las coordenadas de posición de las partículas. La derivada de tiempo total denotada d / d t a menudo implica una diferenciación implícita . Ambas ecuaciones son lineales en el Lagrangiano, pero generalmente serán ecuaciones acopladas no lineales en las coordenadas.
De la mecánica newtoniana a la lagrangiana
Leyes de Newton
Para simplificar, las leyes de Newton se pueden ilustrar para una partícula sin mucha pérdida de generalidad (para un sistema de N partículas, todas estas ecuaciones se aplican a cada partícula del sistema). La ecuación de movimiento para una partícula de masa m es la segunda ley de Newton de 1687, en notación vectorial moderna
donde a es su aceleración y F la fuerza resultante que actúa sobre él. En tres dimensiones espaciales, este es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas para resolver, ya que hay tres componentes en esta ecuación vectorial. Las soluciones son la posición de los vectores r de las partículas en el tiempo t , sujeto a las condiciones iniciales de r y v cuando t = 0.
Las leyes de Newton son fáciles de usar en coordenadas cartesianas, pero las coordenadas cartesianas no siempre son convenientes y para otros sistemas de coordenadas las ecuaciones de movimiento pueden complicarse. En un conjunto de coordenadas curvilíneas ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ), la ley en notación de índice tensorial es la "forma lagrangiana" [7] [8]
donde F a es la a- ésima componente contravariante de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, Γ a bc son los símbolos de Christoffel del segundo tipo,
es la energía cinética de la partícula y g bc las componentes covariantes del tensor métrico del sistema de coordenadas curvilíneas. Todos los índices a , b , c , cada uno toma los valores 1, 2, 3. Las coordenadas curvilíneas no son las mismas que las coordenadas generalizadas.
Puede parecer una complicación excesiva formular la ley de Newton de esta forma, pero hay ventajas. Los componentes de aceleración en términos de los símbolos de Christoffel se pueden evitar evaluando las derivadas de la energía cinética. Si no hay una fuerza resultante que actúe sobre la partícula, F = 0 , no se acelera, sino que se mueve con velocidad constante en línea recta. Matemáticamente, las soluciones de la ecuación diferencial son geodésicas , las curvas de longitud extrema entre dos puntos en el espacio (estas pueden terminar siendo mínimas por lo que los caminos más cortos, pero eso no es necesario). En el espacio real plano en 3D, las geodésicas son simplemente líneas rectas. Entonces, para una partícula libre, la segunda ley de Newton coincide con la ecuación geodésica, y establece que las partículas libres siguen las geodésicas, las trayectorias extremas por las que puede moverse. Si la partícula está sujeta a fuerzas, F ≠ 0 , la partícula se acelera debido a las fuerzas que actúan sobre ella y se desvía de las geodésicas que seguiría si estuviera libre. Con las extensiones apropiadas de las cantidades dadas aquí en plana espacio 3D a 4D espacio-tiempo curvado , la forma anterior de la ley de Newton también lleva a Einstein 's relatividad general , en el que las partículas de caso libre siguen geodésicas en espacio-tiempo curvado que ya no son "líneas rectas "en el sentido ordinario. [9]
Sin embargo, todavía necesitamos conocer la fuerza resultante total F que actúa sobre la partícula, que a su vez requiere la fuerza resultante no restrictiva N más la fuerza restrictiva resultante C ,
Las fuerzas de restricción pueden ser complicadas, ya que generalmente dependerán del tiempo. Además, si hay restricciones, las coordenadas curvilíneas no son independientes sino que están relacionadas por una o más ecuaciones de restricción.
Las fuerzas de restricción pueden eliminarse de las ecuaciones de movimiento para que solo queden las fuerzas no restrictivas, o pueden incluirse al incluir las ecuaciones de restricción en las ecuaciones de movimiento.
Principio de D'Alembert
Un resultado fundamental en la mecánica analítica es el principio de D'Alembert , introducido en 1708 por Jacques Bernoulli para comprender el equilibrio estático y desarrollado por D'Alembert en 1743 para resolver problemas dinámicos. [10] El principio afirma que para N partículas el trabajo virtual, es decir, el trabajo a lo largo de un desplazamiento virtual, δ r k , es cero [2]
Los desplazamientos virtuales , δ r k , son por definición cambios infinitesimales en la configuración del sistema consistentes con las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema en un instante de tiempo , [11] es decir, de tal manera que las fuerzas de restricción mantienen el movimiento restringido. . No son los mismos que los desplazamientos reales en el sistema, que son causados por las fuerzas de restricción y no restricción resultantes que actúan sobre la partícula para acelerarla y moverla. [nb 2] El trabajo virtual es el trabajo realizado a lo largo de un desplazamiento virtual para cualquier fuerza (restricción o no restricción).
Dado que las fuerzas de restricción actúan perpendicularmente al movimiento de cada partícula en el sistema para mantener las restricciones, el trabajo virtual total de las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema es cero; [12] [nb 3]
así que eso
Así, el principio de D'Alembert nos permite concentrarnos solo en las fuerzas no restrictivas aplicadas y excluir las fuerzas restrictivas en las ecuaciones de movimiento. [13] [14] La forma que se muestra también es independiente de la elección de coordenadas. Sin embargo, no se puede usar fácilmente para establecer las ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas arbitrario ya que los desplazamientos δ r k podrían estar conectados por una ecuación de restricción, lo que nos impide establecer los N sumandos individuales en 0. Por lo tanto, buscaremos una sistema de coordenadas mutuamente independientes para el cual la suma total será 0 si y solo si los sumandos individuales son 0. Establecer cada uno de los sumandos en 0 eventualmente nos dará nuestras ecuaciones de movimiento separadas.
Ecuaciones de movimiento del principio de D'Alembert
Si hay restricciones en la partícula k , entonces dado que las coordenadas de la posición r k = ( x k , y k , z k ) están unidas por una ecuación de restricción, también lo están las de los desplazamientos virtuales δ r k = ( δx k , δy k , δz k ). Dado que las coordenadas generalizadas son independientes, podemos evitar las complicaciones con δ r k convirtiendo a desplazamientos virtuales en las coordenadas generalizadas. Estos están relacionados de la misma forma que un diferencial total , [2]
No existe una derivada parcial del tiempo con respecto al tiempo multiplicado por un incremento de tiempo, ya que este es un desplazamiento virtual, uno a lo largo de las restricciones en un instante de tiempo.
El primer término en el principio de D'Alembert anterior es el trabajo virtual realizado por las fuerzas no restrictivas N k a lo largo de los desplazamientos virtuales δ r k , y puede convertirse sin pérdida de generalidad en los análogos generalizados mediante la definición de fuerzas generalizadas.
así que eso
Esta es la mitad de la conversión a coordenadas generalizadas. Queda por convertir el término de aceleración en coordenadas generalizadas, lo que no es inmediatamente obvio. Recordando la forma de Lagrange de la segunda ley de Newton, se puede encontrar que las derivadas parciales de la energía cinética con respecto a las coordenadas y velocidades generalizadas dan el resultado deseado; [2]
Ahora el principio de D'Alembert está en las coordenadas generalizadas según sea necesario,
y dado que estos desplazamientos virtuales δq j son independientes y distintos de cero, los coeficientes pueden equipararse a cero, lo que da como resultado las ecuaciones de Lagrange [15] [16] o las ecuaciones generalizadas de movimiento , [17]
Estas ecuaciones son equivalentes a las leyes de Newton para las fuerzas no restrictivas . Las fuerzas generalizadas en esta ecuación se derivan únicamente de las fuerzas no restrictivas; las fuerzas restrictivas se han excluido del principio de D'Alembert y no es necesario encontrarlas. Las fuerzas generalizadas pueden ser no conservadoras, siempre que satisfagan el principio de D'Alembert. [18]
Ecuaciones de Euler-Lagrange y principio de Hamilton
Para una fuerza no conservadora que depende de la velocidad, puede ser posible encontrar una función de energía potencial V que dependa de posiciones y velocidades. Si las fuerzas generalizadas Q i pueden derivarse de un potencial V tal que [20] [21]
igualando las ecuaciones de Lagrange y definiendo el Lagrange como L = T - V obtiene las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo o las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange
Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange solo pueden dar cuenta de fuerzas no conservadoras si se puede encontrar un potencial como se muestra. Esto puede no ser siempre posible para fuerzas no conservadoras, y las ecuaciones de Lagrange no involucran ningún potencial, solo fuerzas generalizadas; por tanto, son más generales que las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se derivan del cálculo de variaciones . La variación del Lagrangiano es
que tiene una forma similar al diferencial total de L , pero los desplazamientos virtuales y sus derivadas temporales sustituyen a los diferenciales, y no hay incremento temporal de acuerdo con la definición de los desplazamientos virtuales. Una integración por partes con respecto al tiempo puede transferir la derivada del tiempo de δq j al ∂ L / ∂ (d q j / d t ), en el proceso intercambiando d ( δq j ) / d t por δq j , permitiendo el independiente Desplazamientos virtuales que se factorizarán a partir de las derivadas del Lagrangiano,
Ahora, si la condición δq j ( t 1 ) = δq j ( t 2 ) = 0 se cumple para todo j , los términos no integrados son cero. Si además la integral de tiempo completa de δL es cero, entonces debido a que δq j son independientes, y la única forma de que una integral definida sea cero es si el integrando es igual a cero, cada uno de los coeficientes de δq j también debe ser cero. Entonces obtenemos las ecuaciones de movimiento. Esto se puede resumir en el principio de Hamilton ;
La integral de tiempo del Lagrangiano es otra cantidad llamada acción , definida como [22]
que es funcional ; toma la función lagrangiana para todos los tiempos entre t 1 y t 2 y devuelve un valor escalar. Sus dimensiones son las mismas que [ momento angular ], [energía] · [tiempo] o [longitud] · [momento]. Con esta definición, el principio de Hamilton es
Por lo tanto, en lugar de pensar en partículas que se aceleran en respuesta a las fuerzas aplicadas, uno podría pensar en ellas seleccionando el camino con una acción estacionaria, con los puntos finales del camino en el espacio de configuración mantenidos fijos en los tiempos inicial y final. El principio de Hamilton a veces se conoce como el principio de acción mínima , sin embargo, la acción funcional solo necesita ser estacionaria , no necesariamente un valor máximo o mínimo. Cualquier variación de lo funcional da un aumento de la integral funcional de la acción.
Históricamente, la idea de encontrar el camino más corto que puede seguir una partícula sujeta a una fuerza motivó las primeras aplicaciones del cálculo de variaciones a problemas mecánicos, como el problema de Brachistochrone resuelto por Jean Bernoulli en 1696, así como Leibniz , Daniel Bernoulli , L'Hôpital aproximadamente al mismo tiempo y Newton al año siguiente. [23] El propio Newton pensaba en la línea del cálculo variacional, pero no lo publicó. [23] Estas ideas a su vez conducen a los principios variacionales de la mecánica de Fermat , Maupertuis , Euler , Hamilton y otros.
El principio de Hamilton se puede aplicar a restricciones no holonómicas si las ecuaciones de restricción se pueden poner en una determinada forma, una combinación lineal de diferenciales de primer orden en las coordenadas. La ecuación de restricción resultante se puede reorganizar en una ecuación diferencial de primer orden. [24] Esto no se dará aquí.
Multiplicadores y restricciones de Lagrange
La L lagrangiana se puede variar en las coordenadas cartesianas r k , para N partículas,
El principio de Hamilton sigue siendo válido incluso si las coordenadas en las que se expresa L no son independientes, aquí r k , pero todavía se supone que las restricciones son holonómicas. [25] Como siempre, los puntos finales son fijos δ r k ( t 1 ) = δ r k ( t 2 ) = 0 para todo k . Lo que no se puede hacer es simplemente igualar los coeficientes de δ r k a cero porque δ r k no son independientes. En su lugar, se puede utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para incluir las restricciones. Multiplicando cada ecuación de restricción f i ( r k , t ) = 0 por un multiplicador de Lagrange λ i para i = 1, 2, ..., C , y sumando los resultados al Lagrangiano original, se obtiene el nuevo Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange son funciones arbitrarias del tiempo t , pero no funciones de las coordenadas r k , por lo que los multiplicadores están en pie de igualdad con las coordenadas de posición. Variando este nuevo lagrangiano e integrándolo con respecto al tiempo da
Los multiplicadores introducidos se pueden encontrar de manera que los coeficientes de δ r k sean cero, aunque r k no sean independientes. Siguen las ecuaciones de movimiento. Del análisis anterior, obtener la solución de esta integral es equivalente al enunciado
que son las ecuaciones de Lagrange del primer tipo . Además, las ecuaciones de λ i Euler-Lagrange para el nuevo Lagrangiano devuelven las ecuaciones de restricción
Para el caso de una fuerza conservadora dada por el gradiente de alguna energía potencial V , una función de las coordenadas r k solamente, sustituyendo el Lagrangiano L = T - V da
e identificando las derivadas de la energía cinética como la (negativa de la) fuerza resultante, y las derivadas del potencial igualando la fuerza sin restricción, se deduce que las fuerzas de restricción son
dando así las fuerzas de restricción explícitamente en términos de las ecuaciones de restricción y los multiplicadores de Lagrange.
Propiedades del Lagrangiano
No unicidad
El lagrangiano de un sistema dado no es único. Una función de Lagrange L puede ser multiplicado por una constante diferente de cero una , una constante arbitraria b puede ser añadido, y la nueva función de Lagrange aL + b describirá exactamente el mismo movimiento que L . Si, además, nos restringimos, como hicimos anteriormente, a trayectorias confinado en un intervalo de tiempo dado y tener sus puntos finales y fijo, entonces dos lagrangianos que describen el mismo sistema pueden diferir por la "derivada del tiempo total" de una función , [26] es decir
dónde es una mano corta para
Ambos lagrangianos y producir las mismas ecuaciones de movimiento [27] [28] ya que las acciones correspondientes y están relacionados a través de
con los dos últimos componentes y independiente de
Invarianza bajo transformaciones de puntos
Dado un conjunto de coordenadas generalizadas q , si cambiamos estas variables a un nuevo conjunto de coordenadas generalizadas s según una transformación puntual q = q ( s , t ), la nueva L ′ lagrangiana es función de las nuevas coordenadas
y por la regla de la cadena para la diferenciación parcial, las ecuaciones de Lagrange son invariantes bajo esta transformación; [29]
Esto puede simplificar las ecuaciones de movimiento.
Coordenadas cíclicas y momentos conservados
Una propiedad importante del Lagrangiano es que las cantidades conservadas se pueden leer fácilmente en él. El momento generalizado "conjugado canónicamente" a la coordenada q i se define por
Si la función de Lagrange L no no depende de alguna coordenada q i , se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Euler-Lagrange que
y la integración muestra que el momento generalizado correspondiente es igual a una constante, una cantidad conservada. Este es un caso especial del teorema de Noether . Estas coordenadas se denominan "cíclicas" o "ignorables".
Por ejemplo, un sistema puede tener un Lagrangiano
donde r y z son longitudes a lo largo de líneas rectas, s es una longitud de arco a lo largo de alguna curva y θ y φ son ángulos. Observe que z , s y φ están ausentes en el lagrangiano aunque sus velocidades no lo estén. Entonces el momento
son todas cantidades conservadas. Las unidades y la naturaleza de cada momento generalizado dependerán de la coordenada correspondiente; en este caso p z es un momento de traslación en la dirección z , p s también es un momento de traslación a lo largo de la curva s se mide, y p φ es un momento angular en el plano en el que se mide el ángulo φ . El sistema es, todas las coordenadas y velocidades variarán de tal manera que estos momentos se conserven.
Energía
Definición
Dado un lagrangiano la energía del sistema mecánico correspondiente es, por definición,
Invarianza bajo transformaciones de coordenadas
En cada instante de tiempo la energía es invariante en los cambios de coordenadas del espacio de configuración, es decir
Además de este resultado, la siguiente prueba muestra que, bajo tal cambio de coordenadas, las derivadas cambian como coeficientes de forma lineal.
Prueba |
Para una transformación de coordenadas tenemos dónde es el mapa tangente del espacio vectorial al espacio vectorial y es el jacobiano. En las coordenadas and the previous formula for has the form After differentiation involving the product rule, where
In vector notations,
On the other hand,
It was mentioned earlier that Lagrangians do not depend on the choice of configuration space coordinates, i.e. One implication of this is that and This demonstrates that, for each and is a well-defined linear form whose coefficients are contravariant 1-tensors. Applying both sides of the equation to and using the above formula for yields The invariance of the energy follows. |
Conservation
In Lagrangian mechanics, the system is closed if and only if its Lagrangian does not explicitly depend on time. The energy conservation law states that the energy of a closed system is an integral of motion.
More precisely, let be an extremal. (In other words, satisfies the Euler-Lagrange equations). Taking the total time-derivative of along this extremal and using the EL equations leads to
If the Lagrangian does not explicitly depend on time, then so is, indeed, an integral of motion, meaning that
Hence, the energy is conserved.
Kinetic and potential energies
It also follows that the kinetic energy is a homogenous function of degree 2 in the generalized velocities. If in addition the potential V is only a function of coordinates and independent of velocities, it follows by direct calculation, or use of Euler's theorem for homogenous functions, that
Under all these circumstances,[30] the constant
is the total energy of the system. The kinetic and potential energies still change as the system evolves, but the motion of the system will be such that their sum, the total energy, is constant. This is a valuable simplification, since the energy E is a constant of integration that counts as an arbitrary constant for the problem, and it may be possible to integrate the velocities from this energy relation to solve for the coordinates. In the case the velocity or kinetic energy or both depends on time, then the energy is not conserved.
Mechanical similarity
If the potential energy is a homogeneous function of the coordinates and independent of time,[31] and all position vectors are scaled by the same nonzero constant α, rk′ = αrk, so that
and time is scaled by a factor β, t′ = βt, then the velocities vk are scaled by a factor of α/β and the kinetic energy T by (α/β)2. The entire Lagrangian has been scaled by the same factor if
Since the lengths and times have been scaled, the trajectories of the particles in the system follow geometrically similar paths differing in size. The length l traversed in time t in the original trajectory corresponds to a new length l′ traversed in time t′ in the new trajectory, given by the ratios
Interacting particles
For a given system, if two subsystems A and B are non-interacting, the Lagrangian L of the overall system is the sum of the Lagrangians LA and LB for the subsystems:[26]
If they do interact this is not possible. In some situations, it may be possible to separate the Lagrangian of the system L into the sum of non-interacting Lagrangians, plus another Lagrangian LAB containing information about the interaction,
This may be physically motivated by taking the non-interacting Lagrangians to be kinetic energies only, while the interaction Lagrangian is the system's total potential energy. Also, in the limiting case of negligible interaction, LAB tends to zero reducing to the non-interacting case above.
The extension to more than two non-interacting subsystems is straightforward – the overall Lagrangian is the sum of the separate Lagrangians for each subsystem. If there are interactions, then interaction Lagrangians may be added.
Ejemplos de
The following examples apply Lagrange's equations of the second kind to mechanical problems.
Conservative force
A particle of mass m moves under the influence of a conservative force derived from the gradient ∇ of a scalar potential,
If there are more particles, in accordance with the above results, the total kinetic energy is a sum over all the particle kinetic energies, and the potential is a function of all the coordinates.
Cartesian coordinates
The Lagrangian of the particle can be written
The equations of motion for the particle are found by applying the Euler–Lagrange equation, for the x coordinate
with derivatives
hence
and similarly for the y and z coordinates. Collecting the equations in vector form we find
which is Newton's second law of motion for a particle subject to a conservative force.
Polar coordinates in 2d and 3d
The Lagrangian for the above problem in spherical coordinates (2d polar coordinates can be recovered by setting ), with a central potential, is
so the Euler–Lagrange equations are
The φ coordinate is cyclic since it does not appear in the Lagrangian, so the conserved momentum in the system is the angular momentum
in which r, θ and dφ/dt can all vary with time, but only in such a way that pφ is constant.
Pendulum on a movable support
Consider a pendulum of mass m and length ℓ, which is attached to a support with mass M, which can move along a line in the x-direction. Let x be the coordinate along the line of the support, and let us denote the position of the pendulum by the angle θ from the vertical. The coordinates and velocity components of the pendulum bob are
The generalized coordinates can be taken to be x and θ. The kinetic energy of the system is then
and the potential energy is
giving the Lagrangian
Since x is absent from the Lagrangian, it is a cyclic coordinate. The conserved momentum is
and the Lagrange equation for the support coordinate x is
The Lagrange equation for the angle θ is
and simplifying
These equations may look quite complicated, but finding them with Newton's laws would have required carefully identifying all forces, which would have been much more laborious and prone to errors. By considering limit cases, the correctness of this system can be verified: For example, should give the equations of motion for a simple pendulum that is at rest in some inertial frame, while should give the equations for a pendulum in a constantly accelerating system, etc. Furthermore, it is trivial to obtain the results numerically, given suitable starting conditions and a chosen time step, by stepping through the results iteratively.
Two-body central force problem
Two bodies of masses m1 and m2 with position vectors r1 and r2 are in orbit about each other due to an attractive central potential V. We may write down the Lagrangian in terms of the position coordinates as they are, but it is an established procedure to convert the two-body problem into a one-body problem as follows. Introduce the Jacobi coordinates; the separation of the bodies r = r2 − r1 and the location of the center of mass R = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2). The Lagrangian is then[32][33][nb 4]
where M = m1 + m2 is the total mass, μ = m1m2/(m1 + m2) is the reduced mass, and V the potential of the radial force, which depends only on the magnitude of the separation |r| = |r2 − r1|. The Lagrangian splits into a center-of-mass term Lcm and a relative motion term Lrel.
The Euler–Lagrange equation for R is simply
which states the center of mass moves in a straight line at constant velocity.
Since the relative motion only depends on the magnitude of the separation, it is ideal to use polar coordinates (r, θ) and take r = |r|,
so θ is a cyclic coordinate with the corresponding conserved (angular) momentum
The radial coordinate r and angular velocity dθ/dt can vary with time, but only in such a way that ℓ is constant. The Lagrange equation for r is
This equation is identical to the radial equation obtained using Newton's laws in a co-rotating reference frame, that is, a frame rotating with the reduced mass so it appears stationary. Eliminating the angular velocity dθ/dt from this radial equation,[34]
which is the equation of motion for a one-dimensional problem in which a particle of mass μ is subjected to the inward central force − dV/dr and a second outward force, called in this context the centrifugal force
Of course, if one remains entirely within the one-dimensional formulation, ℓ enters only as some imposed parameter of the external outward force, and its interpretation as angular momentum depends upon the more general two-dimensional problem from which the one-dimensional problem originated.
If one arrives at this equation using Newtonian mechanics in a co-rotating frame, the interpretation is evident as the centrifugal force in that frame due to the rotation of the frame itself. If one arrives at this equation directly by using the generalized coordinates (r, θ) and simply following the Lagrangian formulation without thinking about frames at all, the interpretation is that the centrifugal force is an outgrowth of using polar coordinates. As Hildebrand says:[35]
"Since such quantities are not true physical forces, they are often called inertia forces. Their presence or absence depends, not upon the particular problem at hand, but upon the coordinate system chosen." In particular, if Cartesian coordinates are chosen, the centrifugal force disappears, and the formulation involves only the central force itself, which provides the centripetal force for a curved motion.
This viewpoint, that fictitious forces originate in the choice of coordinates, often is expressed by users of the Lagrangian method. This view arises naturally in the Lagrangian approach, because the frame of reference is (possibly unconsciously) selected by the choice of coordinates. For example, see[36] for a comparison of Lagrangians in an inertial and in a noninertial frame of reference. See also the discussion of "total" and "updated" Lagrangian formulations in.[37] Unfortunately, this usage of "inertial force" conflicts with the Newtonian idea of an inertial force. In the Newtonian view, an inertial force originates in the acceleration of the frame of observation (the fact that it is not an inertial frame of reference), not in the choice of coordinate system. To keep matters clear, it is safest to refer to the Lagrangian inertial forces as generalized inertial forces, to distinguish them from the Newtonian vector inertial forces. That is, one should avoid following Hildebrand when he says (p. 155) "we deal always with generalized forces, velocities accelerations, and momenta. For brevity, the adjective "generalized" will be omitted frequently."
It is known that the Lagrangian of a system is not unique. Within the Lagrangian formalism the Newtonian fictitious forces can be identified by the existence of alternative Lagrangians in which the fictitious forces disappear, sometimes found by exploiting the symmetry of the system.[38]
Electromagnetism
A test particle is a particle whose mass and charge are assumed to be so small that its effect on external system is insignificant. It is often a hypothetical simplified point particle with no properties other than mass and charge. Real particles like electrons and up quarks are more complex and have additional terms in their Lagrangians.
The Lagrangian for a charged particle with electrical charge q, interacting with an electromagnetic field, is the prototypical example of a velocity-dependent potential. The electric scalar potential ϕ = ϕ(r, t) and magnetic vector potential A = A(r, t) are defined from the electric field E = E(r, t) and magnetic field B = B(r, t) as follows;
The Lagrangian of a massive charged test particle in an electromagnetic field
is called minimal coupling. Combined with Euler–Lagrange equation, it produces the Lorentz force law
Under gauge transformation:
where f(r,t) is any scalar function of space and time, the aforementioned Lagrangian transforms like:
which still produces the same Lorentz force law.
Note that the canonical momentum (conjugate to position r) is the kinetic momentum plus a contribution from the A field (known as the potential momentum):
This relation is also used in the minimal coupling prescription in quantum mechanics and quantum field theory. From this expression, we can see that the canonical momentum p is not gauge invariant, and therefore not a measurable physical quantity; However, if r is cyclic (i.e. Lagrangian is independent of position r), which happens if the ϕ and A fields are uniform, then this canonical momentum p given here is the conserved momentum, while the measurable physical kinetic momentum mv is not.
Extensiones para incluir fuerzas no conservadoras
Dissipation (i.e. non-conservative systems) can also be treated with an effective Lagrangian formulated by a certain doubling of the degrees of freedom.[39][40][41][42]
In a more general formulation, the forces could be both conservative and viscous. If an appropriate transformation can be found from the Fi, Rayleigh suggests using a dissipation function, D, of the following form:[43]
where Cjk are constants that are related to the damping coefficients in the physical system, though not necessarily equal to them. If D is defined this way, then[43]
and
Otros contextos y formulaciones
The ideas in Lagrangian mechanics have numerous applications in other areas of physics, and can adopt generalized results from the calculus of variations.
Alternative formulations of classical mechanics
A closely related formulation of classical mechanics is Hamiltonian mechanics. The Hamiltonian is defined by
and can be obtained by performing a Legendre transformation on the Lagrangian, which introduces new variables canonically conjugate to the original variables. For example, given a set of generalized coordinates, the variables canonically conjugate are the generalized momenta. This doubles the number of variables, but makes differential equations first order. The Hamiltonian is a particularly ubiquitous quantity in quantum mechanics (see Hamiltonian (quantum mechanics)).
Routhian mechanics is a hybrid formulation of Lagrangian and Hamiltonian mechanics, which is not often used in practice but an efficient formulation for cyclic coordinates.
Momentum space formulation
The Euler–Lagrange equations can also be formulated in terms of the generalized momenta rather than generalized coordinates. Performing a Legendre transformation on the generalized coordinate Lagrangian L(q, dq/dt, t) obtains the generalized momenta Lagrangian L′(p, dp/dt, t) in terms of the original Lagrangian, as well the EL equations in terms of the generalized momenta. Both Lagrangians contain the same information, and either can be used to solve for the motion of the system. In practice generalized coordinates are more convenient to use and interpret than generalized momenta.
Higher derivatives of generalized coordinates
There is no reason to restrict the derivatives of generalized coordinates to first order only. It is possible to derive modified EL equations for a Lagrangian containing higher order derivatives, see Euler–Lagrange equation for details.
Optics
Lagrangian mechanics can be applied to geometrical optics, by applying variational principles to rays of light in a medium, and solving the EL equations gives the equations of the paths the light rays follow.
Relativistic formulation
Lagrangian mechanics can be formulated in special relativity and general relativity. Some features of Lagrangian mechanics are retained in the relativistic theories but difficulties quickly appear in other respects. In particular, the EL equations take the same form, and the connection between cyclic coordinates and conserved momenta still applies, however the Lagrangian must be modified and is not simply the kinetic minus the potential energy of a particle. Also, it is not straightforward to handle multiparticle systems in a manifestly covariant way, it may be possible if a particular frame of reference is singled out.
Quantum mechanics
In quantum mechanics, action and quantum-mechanical phase are related via Planck's constant, and the principle of stationary action can be understood in terms of constructive interference of wave functions.
In 1948, Feynman discovered the path integral formulation extending the principle of least action to quantum mechanics for electrons and photons. In this formulation, particles travel every possible path between the initial and final states; the probability of a specific final state is obtained by summing over all possible trajectories leading to it. In the classical regime, the path integral formulation cleanly reproduces Hamilton's principle, and Fermat's principle in optics.
Classical field theory
In Lagrangian mechanics, the generalized coordinates form a discrete set of variables that define the configuration of a system. In classical field theory, the physical system is not a set of discrete particles, but rather a continuous field ϕ(r, t) defined over a region of 3d space. Associated with the field is a Lagrangian density
defined in terms of the field and its space and time derivatives at a location r and time t. Analogous to the particle case, for non-relativistic applications the Lagrangian density is also the kinetic energy density of the field, minus its potential energy density (this is not true in general, and the Lagrangian density has to be "reverse engineered"). The Lagrangian is then the volume integral of the Lagrangian density over 3d space
where d3r is a 3d differential volume element. The Lagrangian is a function of time since the Lagrangian density has implicit space dependence via the fields, and may have explicit spatial dependence, but these are removed in the integral, leaving only time in as the variable for the Lagrangian.
Noether's theorem
The action principle, and the Lagrangian formalism, are tied closely to Noether's theorem, which connects physical conserved quantities to continuous symmetries of a physical system.
If the Lagrangian is invariant under a symmetry, then the resulting equations of motion are also invariant under that symmetry. This characteristic is very helpful in showing that theories are consistent with either special relativity or general relativity.
Ver también
- Fundamental lemma of the calculus of variations
- Canonical coordinates
- Functional derivative
- Generalized coordinates
- Hamiltonian mechanics
- Hamiltonian optics
- Lagrangian and Eulerian specification of the flow field
- Lagrangian point
- Lagrangian system
- Non-autonomous mechanics
- Restricted three-body problem
- Plateau's problem
- Inverse problem for Lagrangian mechanics, the general topic of finding a Lagrangian for a system given the equations of motion.
Notas al pie
- ^ Sometimes in this context the variational derivative denoted and defined as
- ^ Here the virtual displacements are assumed reversible, it is possible for some systems to have non-reversible virtual displacements that violate this principle, see Udwadia–Kalaba equation.
- ^ In other words
- ^ The Lagrangian also can be written explicitly for a rotating frame. See Padmanabhan, 2000.
Notas
- ^ Torby 1984, p. 270
- ^ a b c d Torby 1984, p. 269
- ^ Hand & Finch 2008, p. 36–40
- ^ Hand & Finch 2008, p. 60–61
- ^ Hand & Finch 2008, p. 19
- ^ Penrose 2007
- ^ Schuam 1988, p. 156
- ^ Synge & Schild 1949, p. 150–152
- ^ Foster & Nightingale 1995, p. 89
- ^ Hand & Finch 2008, p. 4
- ^ Goldstein 1980, pp. 16–18
- ^ Hand 2008, p. 15
- ^ Hand & Finch 2008, p. 15
- ^ Fetter & Walecka 1980, p. 53
- ^ Kibble & Berkshire 2004, p. 234
- ^ Fetter & Walecka 1980, p. 56
- ^ Hand & Finch 2008, p. 17
- ^ Hand & Finch 2008, p. 15–17
- ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. p. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.
- ^ Goldstien 1980, p. 23
- ^ Kibble & Berkshire 2004, p. 234–235
- ^ Hand & Finch 2008, p. 51
- ^ a b Hand & Finch 2008, p. 44–45
- ^ Goldstein 1980
- ^ Fetter & Walecka, pp. 68–70
- ^ a b Landau & Lifshitz 1976, p. 4
- ^ Goldstien, Poole & Safko 2002, p. 21
- ^ Landau & Lifshitz 1976, p. 4
- ^ Goldstein 1980, p. 21
- ^ Landau & Lifshitz 1976, p. 14
- ^ Landau & Lifshitz 1976, p. 22
- ^ Taylor 2005, p. 297
- ^ Padmanabhan 2000, p. 48
- ^ Hand & Finch 1998, pp. 140–141
- ^ Hildebrand 1992, p. 156
- ^ Zak, Zbilut & Meyers 1997, pp. 202
- ^ Shabana 2008, pp. 118–119
- ^ Gannon 2006, p. 267
- ^ Kosyakov 2007
- ^ Galley 2013
- ^ Hadar, Shahar & Kol 2014
- ^ Birnholtz, Hadar & Kol 2013
- ^ a b Torby 1984, p. 271
Referencias
- Lagrange, J. L. (1811). Mécanique analytique. 1.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Lagrange, J. L. (1815). Mécanique analytique. 2.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
- Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (15 January 1976). Mechanics (3rd ed.). Butterworth Heinemann. p. 134. ISBN 9780750628969.
- Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1975). The Classical Theory of Fields. Elsevier Ltd. ISBN 978-0-7506-2768-9.
- Hand, L. N.; Finch, J. D. (13 November 1998). Analytical Mechanics (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 23. ISBN 9780521575720.
- Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics. Cambridge University Press. pp. 140–141. ISBN 0-521-57572-9.
- Saletan, E. J.; José, J. V. (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge University Press. ISBN 9780521636360.
- Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. p. 236. ISBN 9781860944352.
- Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0201029189.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
- Lanczos, Cornelius (1986). "II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method". The variational principles of mechanics (Reprint of University of Toronto 1970 4th ed.). Courier Dover. p. 43. ISBN 0-486-65067-7.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. pp. 53–57. ISBN 978-0-486-43261-8.
- The Principle of Least Action, R. Feynman
- Dvorak, R.; Freistetter, Florian (2005). "§ 3.2 Lagrange equations of the first kind". Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser. p. 24. ISBN 3-540-28208-4.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Haken, H (2006). Information and self-organization (3rd ed.). Springer. p. 61. ISBN 3-540-33021-6.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Henry Zatzkis (1960). "§1.4 Lagrange equations of the second kind". In DH Menzel (ed.). Fundamental formulas of physics. 1 (2nd ed.). Courier Dover. p. 160. ISBN 0-486-60595-7.
- Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ed.). Courier Dover. p. 156. ISBN 0-486-67002-3.
- Michail Zak; Joseph P. Zbilut; Ronald E. Meyers (1997). From instability to intelligence. Springer. p. 202. ISBN 3-540-63055-4.
- Ahmed A. Shabana (2008). Computational continuum mechanics. Cambridge University Press. pp. 118–119. ISBN 978-0-521-88569-0.
- John Robert Taylor (2005). Classical mechanics. University Science Books. p. 297. ISBN 1-891389-22-X.
- Padmanabhan, Thanu (2000). "§2.3.2 Motion in a rotating frame". Theoretical Astrophysics: Astrophysical processes (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 48. ISBN 0-521-56632-0.
- Doughty, Noel A. (1990). Lagrangian Interaction. Addison-Wesley Publishers Ltd. ISBN 0-201-41625-5.
- Kosyakov, B. P. (2007). Introduction to the classical theory of particles and fields. Berlin, Germany: Springer. doi:10.1007/978-3-540-40934-2. ISBN 978-3-540-40933-5.
- Galley, Chad R. (2013). "Classical Mechanics of Nonconservative Systems". Physical Review Letters. 110 (17): 174301. arXiv:1210.2745. Bibcode:2013PhRvL.110q4301G. doi:10.1103/PhysRevLett.110.174301. PMID 23679733. S2CID 14591873.
- Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2014). "Radiation reaction at the level of the action". International Journal of Modern Physics A. 29 (24): 1450132. arXiv:1402.2610. Bibcode:2014IJMPA..2950132B. doi:10.1142/S0217751X14501322. S2CID 118541484.
- Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2013). "Theory of post-Newtonian radiation and reaction". Physical Review D. 88 (10): 104037. arXiv:1305.6930. Bibcode:2013PhRvD..88j4037B. doi:10.1103/PhysRevD.88.104037. S2CID 119170985.
- Roger F Gans (2013). Engineering Dynamics: From the Lagrangian to Simulation. New York: Springer. ISBN 978-1-4614-3929-5.
- Terry Gannon (2006). Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics. Cambridge University Press. p. 267. ISBN 0-521-83531-3.
- Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.CS1 maint: ref duplicates default (link)
- Foster, J; Nightingale, J.D. (1995). A Short Course in General Relativity (2nd ed.). Springer. ISBN 0-03-063366-4.
- M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. pp. 79–80. ISBN 9780521829519.
Otras lecturas
- Gupta, Kiran Chandra, Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).
- Cassel, Kevin (2013). Variational methods with applications in science and engineering. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02258-4.
- Goldstein, Herbert, et al. Classical Mechanics. 3rd ed., Pearson, 2002.
enlaces externos
- David Tong. "Cambridge Lecture Notes on Classical Dynamics". DAMTP. Retrieved 2017-06-08.
- Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
- Joseph Louis de Lagrange - Œuvres complètes (Gallica-Math)
- Constrained motion and generalized coordinates, page 4