En la teoría de conjuntos axiomáticos , el axioma de unión es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Este axioma fue introducido por Ernst Zermelo . [1]
El axioma establece que para cada conjunto x hay un conjunto y cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de x .
Declaración formal
En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:
o en palabras:
- Dado cualquier conjunto A , hay un conjunto B de tal manera que, para cualquier elemento c , c es un miembro de B si y sólo si existe un conjunto D de tal manera que c es un miembro de D y D es un miembro de A .
o, más simplemente:
- Para cualquier conjunto , hay un conjunto que consta solo de los elementos de los elementos de ese conjunto .
Relación con el emparejamiento
El axioma de unión permite desempacar un conjunto de conjuntos y así crear un conjunto más plano. Junto con el axioma del emparejamiento , esto implica que para dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto (llamado su unión ) que contiene exactamente los elementos de los dos conjuntos.
Relación con el reemplazo
El axioma de reemplazo permite formar muchas uniones, como la unión de dos conjuntos.
Sin embargo, en su completa generalidad, el axioma de unión es independiente del resto de los axiomas ZFC: [ cita requerida ] El reemplazo no prueba la existencia de la unión de un conjunto de conjuntos si el resultado contiene un número ilimitado de cardinalidades.
Junto con el esquema de axioma de reemplazo , el axioma de unión implica que se puede formar la unión de una familia de conjuntos indexados por un conjunto.
Relación con la separación
En el contexto de las teorías de conjuntos que incluyen el axioma de separación, el axioma de unión a veces se enuncia en una forma más débil que solo produce un superconjunto de la unión de un conjunto. Por ejemplo, Kunen [2] establece el axioma como
que es equivalente a
En comparación con el axioma establecido en la parte superior de esta sección, esta variación afirma solo una dirección de la implicación, en lugar de ambas direcciones.
Relación con la intersección
No hay un axioma correspondiente de intersección . Sies un conjunto no vacío que contiene, es posible formar la intersección utilizando el esquema de axioma de especificación como
- ,
por lo que no es necesario ningún axioma de intersección por separado. (Si A es el conjunto vacío , entonces tratando de formar la intersección de A como
- { c : para todo D en A , c está en D }
no está permitido por los axiomas. Además, si tal conjunto existiera, entonces contendría todos los conjuntos del "universo", pero la noción de un conjunto universal es la antítesis de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel).
Referencias
- ↑ Ernst Zermelo, 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 (2), págs. 261-281.
Traducción al inglés: Jean van Heijenoort , 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, págs. 199–215 ISBN 978-0-674-32449-7 - ^ Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
Otras lecturas
- Paul Halmos , teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .