Mapa de Baker

En la teoría de sistemas dinámicos , el mapa del panadero es un mapa caótico desde el cuadrado de la unidad en sí mismo. Lleva el nombre de una operación de amasado que los panaderos aplican a la masa: la masa se corta por la mitad y las dos mitades se apilan una sobre la otra y se comprimen.

Ejemplo de una medida que es invariante bajo la acción del mapa del panadero (sin rotar): una medida invariante . La aplicación del mapa del panadero a esta imagen siempre da como resultado exactamente la misma imagen.

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de cambio bilateral de un modelo de celosía de dos estados bi-infinito . El mapa del panadero se conjuga topológicamente con el mapa de la herradura . En física , se puede utilizar una cadena de mapas de panadería acoplados para modelar la difusión determinista .

Como ocurre con muchos sistemas dinámicos deterministas, el mapa del panadero se estudia por su acción en el espacio de funciones definidas en el cuadrado unitario. El mapa del panadero define un operador en el espacio de funciones, conocido como el operador de transferencia del mapa. El mapa del panadero es un modelo exactamente resoluble de caos determinista , en el que las funciones propias y los valores propios del operador de transferencia se pueden determinar explícitamente.

Definicion formal

Hay dos definiciones alternativas del mapa del panadero que son de uso común. Una definición dobla o gira una de las mitades cortadas antes de unirla (similar al mapa de herradura ) y la otra no.

El mapa del panadero doblado actúa en el cuadrado de la unidad como

{\ displaystyle S _ {\ text {plegado al horno}} (x, y) = {\ begin {cases} (2x, y / 2) & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1 } {2}} \\ (2-2x, 1-y / 2) & {\ text {para}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1. \ end {cases}}}

Cuando la sección superior no está doblada, el mapa puede escribirse como

{\ displaystyle S _ {\ text {panadero-desplegado}} (x, y) = \ left (2x- \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor \ ,, \, {\ frac {y + \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor} {2}} \ right).}

El mapa del panadero plegado es un análogo bidimensional del mapa de la tienda.

{\ displaystyle S _ {\ mathrm {tienda}} (x) = {\ begin {cases} 2x & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ 2 (1- x) & {\ text {for}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \ end {cases}}}

mientras que el mapa desplegado es análogo al mapa de Bernoulli . Ambos mapas están topológicamente conjugados. El mapa de Bernoulli puede entenderse como el mapa que recorta progresivamente dígitos de la expansión diádica de x . A diferencia del mapa de la tienda, el mapa del panadero es invertible.

Propiedades

El mapa del panadero conserva la medida bidimensional de Lebesgue .

Aplicación repetida del mapa del panadero a puntos de color rojo y azul, inicialmente separados. Después de varias iteraciones, los puntos rojo y azul parecen estar completamente mezclados.

El mapa es una mezcla fuerte y una mezcla topológica .

El operador de transferencia ${\ Displaystyle U}$ asigna funciones del cuadrado unitario a otras funciones en el cuadrado unitario; es dado por

{\ Displaystyle \ left [Uf \ right] (x, y) = (f \ circ S ^ {- 1}) (x, y).}

">

Reproducir medios

El cuadrado de la unidad de origen está en la parte superior y la parte inferior muestra el resultado a medida que el cuadrado se desplaza de izquierda a derecha.

El operador de transferencia es unitario en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en el cuadrado unitario. El espectro es continuo y, dado que el operador es unitario, los valores propios se encuentran en el círculo unitario. El operador de transferencia no es unitario en el espacio. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \ otimes L_ {y} ^ {2}}$ de funciones polinomio en la primera coordenada y cuadrado integrable en la segunda. En este espacio, tiene un espectro en descomposición, discreto, no unitario.

Como operador de turno

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de cambio de dos lados en la dinámica simbólica de una celosía unidimensional. Considere, por ejemplo, la cadena bi-infinita

{\ Displaystyle \ sigma = \ left (\ ldots, \ sigma _ {- 2}, \ sigma _ {- 1}, \ sigma _ {0}, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ ldots \ right)}

donde cada posición en la cadena puede tomar uno de los dos valores binarios ${\ Displaystyle \ sigma _ {k} \ in \ {0,1 \}}$ . La acción del operador de turno en esta cadena es

{\ Displaystyle \ tau (\ ldots, \ sigma _ {k}, \ sigma _ {k + 1}, \ sigma _ {k + 2}, \ ldots) = (\ ldots, \ sigma _ {k-1} , \ sigma _ {k}, \ sigma _ {k + 1}, \ ldots)}

es decir, cada posición de celosía se desplaza una hacia la izquierda. La cadena bi-infinita puede estar representada por dos números reales ${\ Displaystyle 0 \ leq x, y \ leq 1}$ como

{\ Displaystyle x (\ sigma) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ sigma _ {- k} 2 ^ {- (k + 1)}}

y

{\ Displaystyle y (\ sigma) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ sigma _ {k + 1} 2 ^ {- (k + 1)}.}

En esta representación, el operador de turno tiene la forma

{\ Displaystyle \ tau (x, y) = \ left (2x- \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor \ ,, \, {\ frac {y + \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor} {2}} \ derecho)}

que puede verse como el mapa del panadero desplegado que se muestra arriba.

Ver también

Proceso de Bernoulli

Referencias

Hiroshi H. Hasagawa y William C. Saphir (1992). "Unitaridad e irreversibilidad en sistemas caóticos". Physical Review A . 46 : 7401. CiteSeerX 10.1.1.31.9775 . doi : 10.1103 / PhysRevA.46.7401 .
Ronald J. Fox, "Construcción de la base de Jordania para el mapa de Baker", Chaos , 7 p 254 (1997) doi : 10.1063 / 1.166226
Dean J. Driebe, Mapas completamente caóticos y simetría temporal rota , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 (Exposición de las funciones propias del mapa de Baker) .