En las matemáticas de la teoría del caos , un mapa de herradura es cualquier miembro de una clase de mapas caóticos del cuadrado en sí mismo. Es un ejemplo central en el estudio de sistemas dinámicos . El mapa fue introducido por Stephen Smale mientras estudiaba el comportamiento de las órbitas del oscilador de van der Pol . La acción del mapa se define geométricamente aplastando el cuadrado, luego estirando el resultado en una tira larga y finalmente doblando la tira en forma de herradura.
La mayoría de los puntos finalmente abandonan el cuadrado bajo la acción del mapa. Van a las tapas laterales donde, en iteración, convergerán a un punto fijo en una de las tapas. Los puntos que permanecen en el cuadrado bajo iteración repetida forman un conjunto fractal y son parte del conjunto invariante del mapa.
El aplastamiento, estiramiento y plegado del mapa en herradura son típicos de los sistemas caóticos, pero no son necesarios ni suficientes. [1]
En el mapa de herradura, el apretón y el estiramiento son uniformes. Se compensan entre sí para que el área del cuadrado no cambie. El plegado se realiza de forma ordenada, de modo que las órbitas que permanecen para siempre en el cuadrado se puedan describir de forma sencilla.
Para un mapa de herradura:
- hay un número infinito de órbitas periódicas;
- existen órbitas periódicas de período arbitrariamente largo;
- el número de órbitas periódicas crece exponencialmente con el período; y
- cerca de cualquier punto del conjunto invariante fractal hay un punto de una órbita periódica.
El mapa de la herradura
El mapa de herradura f es un difeomorfismo definido a partir de una región S del plano en sí mismo. La región S es un cuadrado coronado por dos semidiscos. La acción de f se define mediante la composición de tres transformaciones definidas geométricamente. Primero, el cuadrado se contrae a lo largo de la dirección vertical por un factor a < 1/2. Las tapas se contraen para que permanezcan como semidiscos unidos al rectángulo resultante. La contratación por un factor menor a la mitad asegura que habrá un espacio entre las ramas de la herradura. A continuación, el rectángulo se estira horizontalmente por un factor de1/a; las tapas permanecen sin cambios. Finalmente la tira resultante se dobla en una forma de herradura y se coloca de nuevo en S .
La parte interesante de la dinámica es la imagen del cuadrado en sí mismo. Una vez definida esa parte, el mapa puede extenderse a un difeomorfismo definiendo su acción en las tapas. Las tapas están hechas para contraerse y eventualmente mapearse dentro de una de las tapas (la izquierda en la figura). La extensión de f a las mayúsculas agrega un punto fijo al conjunto no errante del mapa. Para que la clase de mapas de herradura sea simple, la región curva de la herradura no debe volver a mapear en el cuadrado.
El mapa de herradura es uno a uno, lo que significa que existe una f −1 inversa cuando se restringe a la imagen de S debajo de f .
Al doblar el cuadrado contraído y estirado de diferentes maneras, son posibles otros tipos de mapas en herradura.
Para garantizar que el mapa permanezca uno a uno, el cuadrado contraído no debe superponerse. Cuando la acción en el cuadrado se extiende a un difeomorfismo, la extensión no siempre se puede hacer en el plano. Por ejemplo, el mapa de la derecha debe extenderse a un difeomorfismo de la esfera mediante el uso de una "gorra" que envuelve el ecuador.
El mapa de herradura es un difeomorfismo del Axioma A que sirve como modelo para el comportamiento general en un punto homoclínico transversal , donde se cruzan las variedades estable e inestable de un punto periódico.
Dinámica del mapa
El mapa de herradura fue diseñado para reproducir la dinámica caótica de un flujo en la vecindad de una órbita periódica dada. La vecindad se elige para que sea un pequeño disco perpendicular a la órbita . A medida que el sistema evoluciona, los puntos de este disco permanecen cerca de la órbita periódica dada, trazando órbitas que finalmente se cruzan con el disco una vez más. Otras órbitas divergen.
El comportamiento de todas las órbitas del disco se puede determinar considerando lo que le sucede al disco. La intersección del disco con la órbita periódica dada vuelve a sí misma en cada período de la órbita y también lo hacen los puntos en su vecindad. Cuando este barrio regresa, su forma se transforma. Entre los puntos dentro del disco hay algunos puntos que dejarán la vecindad del disco y otros que continuarán regresando. El conjunto de puntos que nunca abandona la vecindad de la órbita periódica dada forma un fractal.
Se puede dar un nombre simbólico a todas las órbitas que quedan en el vecindario. El disco de vecindad inicial se puede dividir en una pequeña cantidad de regiones. Conocer la secuencia en la que la órbita visita estas regiones permite localizar la órbita con exactitud. La secuencia de visitas de las órbitas proporciona una representación simbólica de la dinámica, conocida como dinámica simbólica .
Órbitas
Es posible describir el comportamiento de todas las condiciones iniciales del mapa de herradura. Un punto inicial u 0 = ( x , y ) se mapea en el punto u 1 = f ( u 0 ). Su iteración es el punto u 2 = f ( u 1 ) = f 2 ( u 0 ), y la iteración repetida genera la órbita u 0 , u 1 , u 2 , ...
Bajo repetidas iteraciones del mapa de herradura, la mayoría de las órbitas terminan en el punto fijo en la tapa izquierda. Esto se debe a que la herradura mapea la tapa izquierda en sí misma mediante una transformación afín que tiene exactamente un punto fijo. Cualquier órbita que aterrice en la tapa izquierda nunca la abandona y converge al punto fijo en la tapa izquierda en iteración. Los puntos en la tapa derecha se mapean en la tapa izquierda en la siguiente iteración, y la mayoría de los puntos en el cuadrado se mapean en las tapas. En iteración, la mayoría de los puntos serán parte de órbitas que convergen al punto fijo en la tapa izquierda, pero algunos puntos del cuadrado nunca se van.
Iterando la plaza
En iteraciones hacia adelante del mapa de herradura, el cuadrado original se mapea en una serie de franjas horizontales. Los puntos en estas franjas horizontales provienen de franjas verticales en el cuadrado original. Sea S 0 el cuadrado original, mapeelo hacia adelante n veces y considere solo los puntos que caen hacia atrás en el cuadrado S 0 , que es un conjunto de franjas horizontales
Los puntos en las franjas horizontales provienen de las franjas verticales
- ,
que son las franjas horizontales H n mapeadas hacia atrás n veces. Es decir, un punto en V n , bajo n iteraciones de la herradura, terminará en el conjunto H n de franjas verticales.
Conjunto invariante
Si un punto va a permanecer indefinidamente en el cuadrado, entonces debe pertenecer a un conjunto Λ que se mapea a sí mismo. Debe determinarse si este conjunto está vacío o no. Las franjas verticales V 1 se asignan a las franjas horizontales H 1 , pero no todos los puntos de V 1 se asignan nuevamente a V 1 . Solo los puntos en la intersección de V 1 y H 1 pueden pertenecer a Λ , como se puede verificar siguiendo los puntos fuera de la intersección para una iteración más.
La intersección de las franjas horizontales y verticales, H n ∩ V n , son cuadrados que en el límite n → ∞ convergen al conjunto invariante Λ (este conjunto es una intersección de un conjunto de líneas verticales de Cantor con un conjunto de líneas horizontales de Cantor [2] ). La estructura de este conjunto puede entenderse mejor introduciendo un sistema de etiquetas para todas las intersecciones: una dinámica simbólica.
Dinámica simbólica
Desde H n ∩ V n ⊂ V 1 , cualquier punto que está en Λ bajo la iteración debe caer en la franja vertical izquierda A de V 1 , o en la tira vertical derecho B . La franja horizontal inferior de H 1 es la imagen de A y la franja horizontal superior es la imagen de B , por lo que H 1 = f (A) ∪ f (B) . Las tiras A y B se pueden usar para etiquetar los cuatro cuadrados en la intersección de V 1 y H 1 :
El conjunto Λ B • A consta de puntos de la tira A que estaban en la tira B en la iteración anterior. Un punto se usa para separar la región en la que se encuentra el punto de una órbita de la región de donde proviene el punto.
La notación se puede extender a iteraciones más altas del mapa de herradura. Las tiras verticales pueden ser nombrados de acuerdo con la secuencia de visitas para despojar A o tira B . Por ejemplo, el conjunto ABB ⊂ V 3 consiste en los puntos de A que aterrizarán en B en una iteración y permanecerán en B en la iteración posterior:
Trabajar hacia atrás desde esa trayectoria determina una pequeña región, el conjunto ABB , dentro de V 3 .
Las franjas horizontales se nombran a partir de sus imágenes previas de franjas verticales. En esta notación, la intersección de V 2 y H 2 consta de 16 cuadrados, uno de los cuales es
Todos los puntos en Λ AB • BB están en B y seguirán estando en B durante al menos una iteración más. Su trayectoria anterior antes de aterrizar en BB era un seguido de B .
Órbitas periódicas
Cualquiera de las intersecciones Λ P • F de una franja horizontal con una franja vertical, donde P y F son secuencias de A s y B s, es una transformación afín de una pequeña región en V 1 . Si P tiene k símbolos, y si f - k (Λ P • F ) y Λ P • F se cruzan, la región Λ P • F tendrá un punto fijo. Esto sucede cuando la secuencia P es el mismo que F . Por ejemplo, Λ ABAB • ABAB ⊂ V 4 ∩ H 4 tiene al menos un punto fijo. Este punto también es el mismo que el punto fijo en Λ AB • AB . Al incluir más y más AB en la parte P y F de la etiqueta de intersección, el área de la intersección se puede hacer tan pequeña como sea necesario. Converge a un punto que forma parte de una órbita periódica del mapa de herradura. La órbita periódica se puede etiquetar mediante la secuencia más simple de A s y B s que etiqueta una de las regiones que visita la órbita periódica.
Para cada secuencia de A sy B s hay una órbita periódica.
Ver también
Notas
- ^ David Ruelle (2006). "¿Qué es un atractor extraño?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 (7): 764–765.
- ^ Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
Referencias
- David Ruelle (2006). "¿Qué es un atractor extraño?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 (7): 764–765.
- Stephen Smale (1967). "Sistemas dinámicos diferenciables" . Boletín de la American Mathematical Society . 73 (6): 747–817. doi : 10.1090 / S0002-9904-1967-11798-1 .
- P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). "Propiedades topológicas y métricas de atractores extraños tipo Hénon". Physical Review A . 38 (3): 1503-1520. Código Bibliográfico : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
- André de Carvalho (1999). "Poda de frentes y formación de herraduras". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 19 (4): 851–894. arXiv : matemáticas / 9701217 . doi : 10.1017 / S0143385799133972 .
- André de Carvalho; Toby Hall (2002). "Cómo podar una herradura" (PDF) . No linealidad . 15 (3): R19 – R68. Código Bibliográfico : 2002Nonli..15R..19D . doi : 10.1088 / 0951-7715 / 15/3/201 . Archivado desde el original (PDF) el 2 de marzo de 2019.
enlaces externos
- "Smale Herradura" . Scholarpedia .
- Evgeny Demidov (2007). "Estructuras homoclínicas en el mapa estándar" . ibiblio.org . Consultado el 11 de julio de 2016 .
- Capítulo de ChaosBook.org "Estirar, doblar, podar"
- CHAOS VI - Chaos and Horseshoe Chapter de Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez película Chaos