En dinámica simbólica y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio de cambio o subdesplazamiento es un conjunto de palabras infinitas que representan la evolución de un sistema discreto . De hecho, los espacios de cambio y los sistemas dinámicos simbólicos a menudo se consideran sinónimos . Los espacios de turnos más estudiados son los subdesplazamientos de tipo finito .
Notación
Sea A un conjunto finito de estados. Una palabra infinita (respectivamente bi-infinita ) sobre A es una secuencia, dónde (respectivamente ) y está en A para cualquier. El operador de turno actúa sobre una palabra infinita o bi-infinita desplazando todos los símbolos hacia la izquierda, es decir,
- para todos n .
En lo siguiente elegimos y así hablamos de palabras infinitas, pero todas las definiciones son naturalmente generalizables al caso bi-infinito.
Definición
Un conjunto de palabras infinitas sobre A es un espacio de desplazamiento (o subdesplazamiento ) si está cerrado con respecto a la topología de producto natural dee invariante bajo el operador de turno. Por lo tanto, un conjuntoes un cambio secundario si y solo si
- para cualquier secuencia convergente ( puntual ) de elementos de S , el límite también pertenece a S ; y
- .
Un espacio de desplazamiento S a veces se denota como para enfatizar el papel del operador de turno.
Algunos autores [1] utilizan el término subdesplazamiento para un conjunto de palabras infinitas que es simplemente invariante bajo el desplazamiento, y reservan el término espacio de desplazamiento para aquellas que también están cerradas.
Caracterización y subdesplazamientos sofic
Un subconjunto S dees un espacio de cambio si y sólo si existe un conjunto X de palabras finitas tal que S coincide con el conjunto de todas las palabras infinito sobre A que no tiene factor de (subcadena) en X .
En particular, si X es finito, entonces S se denomina subdesplazamiento de tipo finito y, más generalmente, cuando X es un lenguaje regular , el subdesplazamiento correspondiente se denomina sofic . El nombre "sofic" fue acuñado por Weiss (1973) , basado en la palabra hebrea סופי que significa "finito", para referirse al hecho de que se trata de una generalización de una propiedad de finitud. [2]
Ejemplos de
El primer ejemplo trivial de espacio de turno (de tipo finito) es el turno completo .
Dejar . El conjunto de todas las palabras infinitas sobre A que contiene como máximo una b es un subdesplazamiento sofic, no de tipo finito. El conjunto de todas las palabras infinitas sobre A cuyas b forman bloques de longitud prima no es sofic (esto se puede demostrar usando el lema de bombeo ).
El espacio de infinitas cadenas en dos letras, se llama proceso de Bernoulli . Es isomorfo al conjunto de Cantor .
El espacio bi-infinito de cuerdas en dos letras, se conoce comúnmente como mapa de Baker , o más bien es homomórfico al mapa de Baker.
Ver también
Referencias
- ^ Thomsen, K. (2004). "Sobre la estructura de un espacio de cambio sofic" (PDF Reprint) . Transacciones de la American Mathematical Society . 356 (9): 3557–3619. doi : 10.1090 / S0002-9947-04-03437-3 . Consultado el 27 de enero de 2012 .
- ^ Weiss, Benjamin (1973), "Subdesplazamientos de tipo finito y sistemas soficos", Monatsh. Matemáticas. , 77 (5): 462–474, doi : 10.1007 / bf01295322 , MR 0340556. Weiss no describe el origen de la palabra más que llamarlo neologismo; sin embargo, su origen hebreo lo indica el revisor de MathSciNet , RL Adler.
Otras lecturas
- Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Introducción a la codificación y la dinámica simbólica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55900-6.
- Lothaire, M. (2002). "Palabras finitas e infinitas" . Combinatoria algebraica de palabras . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81220-8. Consultado el 29 de enero de 2008 .
- Morse, Marston ; Hedlund, Gustav A. (1938). "Dinámica simbólica". Revista Estadounidense de Matemáticas . 60 (4): 815–866. doi : 10.2307 / 2371264 . JSTOR 2371264 .
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.