La paradoja de la barbería fue propuesto por Lewis Carroll en un ensayo de tres páginas titulado "Una paradoja lógica", que apareció en la edición de julio 1894 mente . El nombre proviene del cuento "ornamental" que Carroll usa en el artículo para ilustrar la paradoja. Anteriormente existía en varias formas alternativas en sus escritos y correspondencia, no siempre involucrando a una barbería. Carroll lo describió como ilustrando "una dificultad muy real en la teoría de los hipotéticos". [1] Desde el punto de vista de la lógica moderna, no se considera tanto una paradoja como un simple error lógico . Es de interés ahora principalmente como un episodio en el desarrollo demétodos lógicos algebraicos cuando éstos no eran tan ampliamente entendidos (incluso entre los lógicos), aunque el problema continúa siendo discutido en relación con las teorías de implicación y lógica modal . [2]
La paradoja
En la historia, el tío Joe y el tío Jim caminan hacia la peluquería. Explican que hay tres barberos que viven y trabajan en la tienda —Allen, Brown y Carr— y algunos o todos pueden estar adentro. Se nos dan dos piezas de información de las que sacar conclusiones. En primer lugar, la tienda definitivamente está abierta, por lo que al menos uno de los barberos debe estar. En segundo lugar, se dice que Allen está muy nervioso, por lo que nunca sale de la tienda a menos que Brown lo acompañe.
Ahora, según el tío Jim, Carr es un muy buen barbero y quiere saber si Carr estará allí para afeitarlo. El tío Joe insiste en que es seguro que Carr participará y afirma que puede probarlo con lógica. El tío Jim exige esta prueba.
El tío Joe da su argumento de la siguiente manera:
Supongamos que Carr está fuera. Demostraremos que este supuesto produce una contradicción . Si Carr está fuera, entonces sabemos esto: "Si Allen está fuera, entonces Brown está dentro" , porque tiene que haber alguien "que se encargue de la tienda". Pero también sabemos que siempre que Allen sale se lleva a Brown con él, así que como regla general, "si Allen está fuera, entonces Brown está fuera" . Las dos afirmaciones a las que hemos llegado son incompatibles, porque si Allen está fuera, Brown no puede estar tanto dentro (según una) como fuera (según la otra). Hay una contradicción. Por tanto, debemos abandonar nuestra hipótesis de que Carr está fuera y concluir que Carr debe estar dentro.
La respuesta del tío Jim es que esta conclusión no está justificada. La conclusión correcta que se puede sacar de la incompatibilidad de los dos "hipotéticos" es que lo que se hipotetiza en ellos (que Allen está fuera) debe ser falso bajo nuestra suposición de que Carr está fuera. Entonces nuestra lógica simplemente nos permite llegar a la conclusión "Si Carr está fuera, entonces Allen debe estar necesariamente dentro".
La disputa histórica
La paradoja surgió de un desacuerdo entre Carroll y su colega de Oxford, el profesor de lógica Wykeham John Cook Wilson , los dos tenían un antagonismo de larga data. El problema también fue discutido por otros con quienes Carroll mantuvo correspondencia, y fue abordado en artículos posteriores publicados por John Venn , Alfred Sidgwick y Bertrand Russell, entre otros. El punto de vista de Cook Wilson está representado en la historia por el personaje del tío Joe, que intenta demostrar que Carr debe permanecer siempre en la tienda. Otros habían adoptado el mismo punto de vista cuando Carroll hizo circular sus versiones impresas en privado del problema. Como señaló Carroll, "estoy en correspondencia con una docena de lógicos sobre este curioso punto; y hasta ahora, las opiniones parecen igualmente divididas en cuanto a la libertad de C" . [2] : 445-448
Simplificación
Notación
Al leer el original, puede ser útil tener en cuenta lo siguiente:
- Lo que Carroll llamó "hipotéticos", los lógicos modernos denominan " condicionales lógicos ".
- El tío Joe concluye su prueba reductio ad absurdum , que en inglés significa " prueba por contradicción ".
- Lo que Carroll llama la prótasis de un condicional ahora se conoce como el antecedente, y de manera similar, la apódosis ahora se llama el consecuente.
Los símbolos se pueden utilizar para simplificar en gran medida declaraciones lógicas como las inherentes a esta historia:
Nombre del operador) | Coloquial | Simbólico | ||
---|---|---|---|---|
Negación | NO | no X | ¬ | ¬X |
Conjunción | Y | X y Y | ∧ | X ∧ Y |
Disyunción | O | X o Y | ∨ | X ∨ Y |
Condicional | SI ... ENTONCES | si X entonces Y | ⇒ | X ⇒ Y |
Nota: X ⇒ Y (también conocido como "Implicación") se puede leer de muchas formas en inglés , desde "X es suficiente para Y" hasta "Y sigue a X". (Ver también Tabla de símbolos matemáticos ).
Reexpresión
Para ayudar a reformular la historia de Carroll de manera más simple, tomaremos las siguientes declaraciones atómicas :
- A = Allen está en la tienda
- B = Brown está en
- C = Carr está en
Entonces, por ejemplo (¬A ∧ B) representa "Allen está fuera y Brown está dentro"
El tío Jim nos da nuestros dos axiomas:
- Ahora hay al menos un peluquero en la tienda (A ∨ B ∨ C)
- Allen nunca sale de la tienda sin Brown (¬A ⇒ ¬B)
El tío Joe presenta una prueba:
Inglés abreviado con marcadores lógicos | Principalmente simbólico |
---|---|
Suponga que Carr NO está en. | H0: ¬C |
Dado NO C, SI Allen NO está en ENTONCES Brown debe estar adentro, para satisfacer el Axioma 1 (A1). | Por H0 y A1, ¬A ⇒ B |
Pero el Axioma 2 (A2) da que es universalmente cierto que SI Allen no está en ENTONCES Brown no está en (siempre es cierto que si ¬A entonces ¬B) | Por A2, ¬A ⇒ ¬B |
Hasta ahora tenemos que NOT C produce ambos (No A ENTONCES B) Y (No A ENTONCES No B). | Por tanto, ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B)) |
El tío Joe afirma que estos son contradictorios. | ⊥ |
Por lo tanto, Carr debe estar dentro. | ∴C |
El tío Joe básicamente hace el argumento de que (¬A ⇒ B) y (¬A ⇒ ¬B) son contradictorios, diciendo que el mismo antecedente no puede resultar en dos consecuentes diferentes.
Esta supuesta contradicción es el quid de la "prueba" de Joe. Carroll presenta este resultado que desafía la intuición como una paradoja, esperando que se resuelva la ambigüedad contemporánea.
Discusión
En la teoría lógica moderna, este escenario no es una paradoja. La ley de la implicación reconcilia lo que el tío Joe afirma que son hipotéticos incompatibles. Esta ley establece que "si X entonces Y" es lógicamente idéntico a "X es falso o Y es verdadero" (¬X ∨ Y). Por ejemplo, dada la afirmación "si se pulsa el botón y luego se enciende la luz", que debe ser cierto en un momento dado que cualquiera que haya no se pulsa el botón, o la luz está encendida.
En resumen, lo que se obtiene no es que ¬C produzca una contradicción, solo que necesita A, porque ¬A es lo que realmente produce la contradicción.
En este escenario, eso significa que Carr no tiene que estar dentro, pero que si no está, Allen tiene que estar.
Simplificando a Axiom 1
La aplicación de la ley de la implicación a los condicionales ofensivos muestra que, en lugar de contradecirse entre sí, uno simplemente reitera el hecho de que, dado que la tienda está abierta, uno o más de Allen, Brown o Carr están dentro y el otro pone muy pocas restricciones sobre quién puede o no puede estar en la tienda.
Para ver esto, ataquemos el gran resultado "contradictorio" de Jim, principalmente aplicando la ley de la implicación repetidamente. Primero analicemos uno de los dos condicionales ofensivos:
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Sustituyendo esto en
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Lo que produce, con la aplicación continuada de la ley de la implicación,
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- tenga en cuenta que: C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) se puede simplificar a C ∨ A
- ya que ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) es simplemente A
Y finalmente, (a la derecha estamos distribuyendo sobre el paréntesis)
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Entonces, las dos declaraciones que se vuelven verdaderas a la vez son: "Uno o más de Allen, Brown o Carr están dentro", que es simplemente el Axioma 1, y "Carr está dentro o Allen está dentro o Brown está fuera". Claramente, una forma en que estas dos afirmaciones pueden volverse ciertas a la vez es en el caso de Allen (porque la casa de Allen es la peluquería y en algún momento Brown dejó la tienda).
Otra forma de describir cómo (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) resuelve esto en un conjunto válido de declaraciones es reformular la declaración de Jim de que "Si Allen también está fuera ..." en "Si Carr está fuera y Allen es fuera entonces Brown está dentro "((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).
Mostrando condicionales compatibles
Los dos condicionales no son opuestos lógicos: para probar por contradicción, Jim necesitaba mostrar ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z), donde Z resulta ser un condicional.
El opuesto de (A ⇒ B) es ¬ (A ⇒ B), que, utilizando la ley de De Morgan , se resuelve en (A ∧ ¬B), que no es en absoluto lo mismo que (¬A ∨ ¬B), que es a lo que A ⇒ ¬B se reduce.
Esta confusión sobre la "compatibilidad" de estos dos condicionales fue prevista por Carroll, que incluye una mención al final del relato. Intenta aclarar la cuestión argumentando que la prótasis y la apódosis de la implicación "Si Carr está en ..." están "divididas incorrectamente". Sin embargo, la aplicación de la Ley de Implicación elimina el "Si ..." por completo (reduciendo a disyunciones), por lo que no existen prótasis ni apodosis y no se necesita ningún contraargumento.
Ver también
Notas
- ^ Carroll, Lewis (julio de 1894). "Una paradoja lógica" . Mente . 3 (11): 436–438.
- ^ a b Carroll, Lewis (1977). Bartley, William Warren (ed.). Lógica simbólica, Partes I y II . Prensa cosechadora. ISBN 0855279842.
Otras lecturas
- Russell, Bertrand (1903). "Capítulo II. Lógica simbólica". Los principios de las matemáticas . pag. § 19 n. 1. ISBN 0-415-48741-2.Russell sugiere una noción funcional de verdad de condicionales lógicos , que (entre otras cosas) implica que una proposición falsa implicará todas las proposiciones. En una nota menciona que su teoría de la implicación disolvería la paradoja de Carroll, ya que no solo permite, sino que de hecho requiere que tanto " p implica q " como " p implica no- q " sean verdaderas, siempre que p no lo sea. .