La historia de la lógica se ocupa del estudio del desarrollo de la ciencia de la inferencia válida ( lógica ). La lógica formal se desarrolló en la antigüedad en India , China y Grecia . Los métodos griegos, particularmente la lógica aristotélica (o lógica del término) como se encuentran en el Organon , encontraron una amplia aplicación y aceptación en la ciencia y las matemáticas occidentales durante milenios. [1] Los estoicos , especialmente Crisipo , comenzaron el desarrollo de la lógica de predicados .
Filósofos cristianos e islámicos como Boecio (fallecido en 524), Ibn Sina (Avicena, fallecido en 1037) y Guillermo de Ockham (fallecido en 1347) desarrollaron aún más la lógica de Aristóteles en la Edad Media , alcanzando un punto culminante a mediados del siglo XIV, con Jean Buridan . El período comprendido entre el siglo XIV y el comienzo del siglo XIX fue testigo de un gran declive y abandono, y al menos un historiador de la lógica considera este tiempo estéril. [2] Los métodos empíricos descartaron el día, como se evidencia por Sir Francis Bacon 's Novum Organon de 1620.
La lógica revivió a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que la asignatura se convirtió en una disciplina rigurosa y formal que tomó como modelo el método exacto de prueba utilizado en matemáticas , una escucha de la tradición griega. [3] El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período por parte de gente como Boole , Frege , Russell y Peano es el más significativo en los dos mil años de historia de la lógica, y podría decirse que es uno de los acontecimientos más importantes y notables de la historia intelectual humana . [4]
El progreso de la lógica matemática en las primeras décadas del siglo XX, particularmente derivado del trabajo de Gödel y Tarski , tuvo un impacto significativo en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente desde la década de 1950 en adelante, en temas como la lógica modal , la lógica temporal. , lógica deóntica y lógica de relevancia .
Lógica en Oriente
Lógica en India
La lógica comenzó de forma independiente en la India antigua y continuó desarrollándose hasta los primeros tiempos modernos sin ninguna influencia conocida de la lógica griega. [5] Medhatithi Gautama (c. Siglo VI a. C.) fundó la escuela de lógica anviksiki . [6] El Mahabharata (12.173.45), alrededor del siglo V aC, se refiere a las escuelas de lógica anviksiki y tarka . Pāṇini (c. Siglo V a. C.) desarrolló una forma de lógica (con la que la lógica booleana tiene algunas similitudes) para su formulación de la gramática sánscrita . La lógica es descrita por Chanakya (c. 350-283 aC) en su Arthashastra como un campo de investigación independiente. [7]
Dos de las seis escuelas de pensamiento indias se ocupan de la lógica: Nyaya y Vaisheshika . Los Nyaya Sutras de Aksapada Gautama (c. Siglo II d.C.) constituyen los textos centrales de la escuela Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosofía hindú . Esta escuela realista desarrolló un esquema de inferencia rígido de cinco miembros que involucraba una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. [8] La filosofía budista idealista se convirtió en el principal oponente de los Naiyayikas. Nagarjuna (c. 150-250 d. C.), el fundador del Madhyamika ("Camino Medio") desarrolló un análisis conocido como catuṣkoṭi (sánscrito), un sistema de argumentación de "cuatro esquinas" que implica el examen sistemático y el rechazo de cada de las 4 posibilidades de una proposición, P :
- P ; es decir, ser.
- no P ; es decir, no ser.
- P y no P ; es decir, ser y no ser.
- no ( P o no P ); es decir, ni ser ni no ser. Bajo la lógica proposicional , las leyes de De Morgan implican que esto es equivalente al tercer caso ( P y no P ) y, por lo tanto, es superfluo; en realidad, solo hay que considerar 3 casos.
Sin embargo, a veces se dice que Dignaga (c. 480-540 d. C.) desarrolló un silogismo formal, [9] y fue a través de él y su sucesor, Dharmakirti , que la lógica budista alcanzó su apogeo; se discute si su análisis constituye realmente un sistema silogístico formal. En particular, su análisis se centró en la definición de una relación que garantiza la inferencia, " vyapti ", también conocida como concomitancia invariable o penetración. [10] Con este fin, se desarrolló una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. [11] Esto implicó lo que podría llamarse inclusión y exclusión de propiedades definitorias.
La famosa "rueda de la razón" de Dignāga ( Hetucakra ) es un método para indicar cuándo una cosa (como el humo) puede tomarse como un signo invariable de otra (como el fuego), pero la inferencia suele ser inductiva y se basa en observaciones pasadas. Matilal comenta que el análisis de Dignāga es muy parecido al Método conjunto de acuerdo y diferencia de John Stuart Mill, que es inductivo. [12]
Además, el silogismo indio tradicional de cinco miembros, aunque deductivamente válido, tiene repeticiones que son innecesarias para su validez lógica. Como resultado, algunos comentaristas ven el silogismo tradicional indio como una forma retórica que es completamente natural en muchas culturas del mundo y, sin embargo, no como una forma lógica, no en el sentido de que todos los elementos lógicamente innecesarios se hayan omitido por el bien de análisis.
A pesar de su salida de la India, continuó fascinando a muchos grandes matemáticos como Charles Babbage, George Boole, Augustus de Morgan, John Mill, etc.
Lógica en China
En China, un contemporáneo de Confucio , Mozi , "Master Mo", se le atribuye la fundación de la escuela Mohist , cuyos cánones se ocuparon de cuestiones relacionadas con la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que surgió del mohismo, los lógicos , es reconocida por algunos estudiosos por su investigación temprana de la lógica formal . Debido a la dura regla del legalismo en la posterior dinastía Qin , esta línea de investigación desapareció en China hasta la introducción de la filosofía india por parte de los budistas .
Lógica en Occidente
Prehistoria de la lógica
Se ha empleado un razonamiento válido en todos los períodos de la historia humana. Sin embargo, la lógica estudia los principios del razonamiento válido, la inferencia y la demostración. Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría , que originalmente significaba lo mismo que "medición de la tierra". [13] Los antiguos egipcios descubrieron la geometría , incluida la fórmula para el volumen de una pirámide truncada . [14] La antigua Babilonia también era experta en matemáticas. El manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli en el siglo XI a. C. se basó en un conjunto lógico de axiomas y suposiciones, [15] mientras que los astrónomos babilónicos de los siglos VIII y VII a. C. emplearon una lógica interna dentro de sus sistemas planetarios predictivos, una importante contribución a la filosofía de la ciencia . [dieciséis]
Grecia antigua antes de Aristóteles
Mientras que los antiguos egipcios descubrieron empíricamente algunas verdades de la geometría, el gran logro de los antiguos griegos fue reemplazar los métodos empíricos por pruebas demostrativas . Tanto Tales como Pitágoras de los filósofos presocráticos parecen conocer los métodos de la geometría.
Los fragmentos de las primeras pruebas se conservan en las obras de Platón y Aristóteles, [17] y la idea de un sistema deductivo probablemente se conocía en la escuela pitagórica y en la Academia platónica . [14] Las pruebas de Euclides de Alejandría son un paradigma de la geometría griega. Los tres principios básicos de la geometría son los siguientes:
- Ciertas proposiciones deben aceptarse como verdaderas sin demostración; tal proposición se conoce como axioma de geometría.
- Toda proposición que no sea un axioma de la geometría debe demostrarse que se sigue de los axiomas de la geometría; tal demostración se conoce como prueba o "derivación" de la proposición.
- La prueba debe ser formal ; es decir, la derivación de la proposición debe ser independiente del tema particular en cuestión. [14]
Más evidencia de que los primeros pensadores griegos estaban preocupados por los principios del razonamiento se encuentra en el fragmento llamado dissoi logoi , probablemente escrito a principios del siglo IV a. C. Esto es parte de un prolongado debate sobre la verdad y la falsedad. [18] En el caso de las ciudades-estado griegas clásicas, el interés por la argumentación también fue estimulado por las actividades de los retóricos u oradores y los sofistas , quienes usaron argumentos para defender o atacar una tesis, tanto en contextos legales como políticos. [19]
Tales
Se dice que Tales, más ampliamente considerado como el primer filósofo de la tradición griega , [20] [21] midió la altura de las pirámides por sus sombras en el momento en que su propia sombra era igual a su altura. Se decía que Tales tuvo un sacrificio para celebrar el descubrimiento del teorema de Tales, al igual que Pitágoras tuvo el teorema de Pitágoras . [22]
Tales es el primer individuo conocido en utilizar el razonamiento deductivo aplicado a la geometría, derivando cuatro corolarios de su teorema, y el primer individuo conocido al que se le ha atribuido un descubrimiento matemático. [23] Los matemáticos indios y babilónicos conocían su teorema para casos especiales antes de que él lo probara. [24] Se cree que Tales aprendió que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto durante sus viajes a Babilonia . [25]
Pitágoras
Antes del 520 a. C., en una de sus visitas a Egipto o Grecia, Pitágoras pudo haber conocido al c. Thales 54 años mayor. [26] El estudio sistemático de la prueba parece haber comenzado con la escuela de Pitágoras (es decir, los pitagóricos) a finales del siglo VI a. C. [14] De hecho, los pitagóricos, creyendo que todo era número, son los primeros filósofos en enfatizar la forma en lugar de la materia . [27]
Heráclito y Parménides
La escritura de Heráclito (c. 535 - c. 475 a. C.) fue el primer lugar donde la palabra logos recibió especial atención en la filosofía griega antigua, [28] Heráclito sostenía que todo cambia y todo era fuego y opuestos en conflicto, aparentemente solo unificados. por este Logos . Es conocido por sus dichos oscuros.
Este logos se mantiene siempre, pero los humanos siempre demuestran ser incapaces de entenderlo, tanto antes de escucharlo como cuando lo han escuchado por primera vez. Porque aunque todas las cosas llegan a estar de acuerdo con este logos , los humanos son como los inexpertos cuando experimentan las palabras y los hechos que expuse, distinguiendo cada uno de acuerdo con su naturaleza y diciendo cómo es. Pero otras personas no se dan cuenta de lo que hacen cuando están despiertas, del mismo modo que olvidan lo que hacen mientras duermen.
- Diels-Kranz , 22B1
A diferencia de Heráclito, Parménides sostenía que todo es uno y nada cambia. Pudo haber sido un pitagórico disidente, en desacuerdo con que Uno (un número) produjo los muchos. [29] "X no es" debe ser siempre falso o sin sentido. Lo que existe no puede no existir de ninguna manera. Nuestras percepciones sensoriales con su percepción de generación y destrucción están en grave error. En lugar de la percepción sensorial, Parménides defendió el logos como medio para la Verdad. Se le ha llamado el descubridor de la lógica, [30] [31]
- Para este punto de vista, lo que no es existe, nunca puede predominar. Debes excluir tu pensamiento de esta forma de búsqueda, y no permitir que la experiencia ordinaria en su variedad te obligue a seguir este camino (es decir, el de permitir) el ojo, a pesar de que es ciego, y el oído, lleno de sonido, y la lengua. , mandar; pero (debes) juzgar por medio de la Razón ( Logos ) la prueba tan controvertida que expongo. (B 7.1–8.2)
Zenón de Elea , alumno de Parménides, tuvo la idea de un patrón de argumento estándar que se encuentra en el método de prueba conocido como reductio ad absurdum . Ésta es la técnica de sacar una conclusión obviamente falsa (es decir, "absurda") de una suposición, demostrando así que la suposición es falsa. [32] Por lo tanto, Zenón y su maestro son los primeros en aplicar el arte de la lógica. [33] El diálogo de Platón Parménides retrata a Zenón afirmando haber escrito un libro defendiendo el monismo de Parménides demostrando la absurda consecuencia de asumir que hay pluralidad. Zenón usó este método para desarrollar sus paradojas en sus argumentos contra el movimiento. Este razonamiento dialéctico se popularizó más tarde. Los miembros de esta escuela fueron llamados "dialécticos" (de una palabra griega que significa "discutir").
Platón
Que nadie ignorante de geometría entre aquí.
- Inscrito sobre la entrada a la Academia de Platón.
Ninguna de las obras supervivientes del gran filósofo del siglo IV Platón (428-347 a. C.) incluye lógica formal, [34] pero incluyen contribuciones importantes al campo de la lógica filosófica . Platón plantea tres preguntas:
- ¿Qué es lo que propiamente puede llamarse verdadero o falso?
- ¿Cuál es la naturaleza de la conexión entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión?
- ¿Cuál es la naturaleza de la definición?
La primera pregunta surge en el diálogo Theaetetus , donde Platón identifica pensamiento u opinión con hablar o discurso ( logos ). [35] La segunda pregunta es el resultado de la teoría de las formas de Platón . Las formas no son cosas en el sentido ordinario, ni estrictamente ideas en la mente, sino que corresponden a lo que los filósofos llamaron universales , es decir, una entidad abstracta común a cada conjunto de cosas que tienen el mismo nombre. Tanto en La República como en el Sofista , Platón sugiere que la conexión necesaria entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión corresponde a una conexión necesaria entre "formas". [36] La tercera pregunta tiene que ver con la definición . Muchos de los diálogos de Platón se refieren a la búsqueda de una definición de algún concepto importante (justicia, verdad, el Bien), y es probable que Platón estuviera impresionado por la importancia de la definición en matemáticas. [37] Lo que subyace a toda definición es una forma platónica, la naturaleza común presente en diferentes cosas particulares. Por tanto, una definición refleja el objeto último de la comprensión y es el fundamento de toda inferencia válida. Esto tuvo una gran influencia en el alumno de Platón, Aristóteles , en particular en la noción de Aristóteles de la esencia de una cosa. [38]
Aristóteles
La lógica de Aristóteles , y en particular su teoría del silogismo , ha tenido una enorme influencia en el pensamiento occidental . [39] Aristóteles fue el primer lógico en intentar un análisis sistemático de la sintaxis lógica , del sustantivo (o término ) y del verbo. Fue el primer lógico formal , ya que demostró los principios del razonamiento empleando variables para mostrar la forma lógica subyacente de un argumento. [40] Buscó relaciones de dependencia que caracterizan la inferencia necesaria y distinguió la validez de estas relaciones de la verdad de las premisas. Fue el primero en ocuparse de los principios de contradicción y del medio excluido de forma sistemática. [41]
El Organon
Sus obras lógicas, llamadas Organon , son el estudio formal más temprano de la lógica que ha llegado hasta los tiempos modernos. Aunque es difícil determinar las fechas, el orden probable de escritura de las obras lógicas de Aristóteles es:
- Las Categorías , un estudio de los diez tipos de términos primitivos.
- Los temas (con un apéndice llamado Sobre refutaciones sofísticas ), una discusión de dialéctica.
- Sobre interpretación , un análisis de proposiciones categóricas simplesen términos simples, negación y signos de cantidad.
- The Prior Analytics , un análisis formal de lo que hace un silogismo (un argumento válido, según Aristóteles).
- La Analítica Posterior , un estudio de demostración científica, que contiene los puntos de vista maduros de Aristóteles sobre la lógica.
Estas obras son de gran importancia en la historia de la lógica. En las Categorías , intenta discernir todas las cosas posibles a las que puede referirse un término; esta idea sustenta su obra filosófica Metafísica , que a su vez tuvo una profunda influencia en el pensamiento occidental.
También desarrolló una teoría de la lógica no formal ( es decir, la teoría de las falacias ), que se presenta en Temas y Refutaciones sofísticas . [41]
Sobre la interpretación contiene un tratamiento integral de las nociones de oposición y conversión; el capítulo 7 está en el origen del cuadrado de oposición (o cuadrado lógico); el capítulo 9 contiene el comienzo de la lógica modal .
The Prior Analytics contiene su exposición del "silogismo", donde se aplican tres principios importantes por primera vez en la historia: el uso de variables, un tratamiento puramente formal y el uso de un sistema axiomático.
Estoicos
La otra gran escuela de lógica griega es la de los estoicos . [42] La lógica estoica tiene sus raíces en el filósofo de finales del siglo V a. C. Euclides de Megara , alumno de Sócrates y contemporáneo un poco mayor de Platón, probablemente siguiendo la tradición de Parménides y Zenón. Sus alumnos y sucesores fueron llamados " Megarianos " o "Eristics", y más tarde los "Dialécticos". Los dos dialécticos más importantes de la escuela megara fueron Diodoro Crono y Filón , que estuvieron activos a finales del siglo IV a. C.
Los estoicos adoptaron la lógica megara y la sistematizaron. El miembro más importante de la escuela fue Crisipo (c. 278-c. 206 a. C.), que fue su tercer director y que formalizó gran parte de la doctrina estoica. Se supone que ha escrito más de 700 obras, incluidas al menos 300 sobre lógica, casi ninguna de las cuales sobrevive. [43] [44] A diferencia de Aristóteles, no tenemos obras completas de los megarianos o los primeros estoicos, y tenemos que basarnos principalmente en relatos (a veces hostiles) de fuentes posteriores, entre las que destacan Diógenes Laercio , Sexto Empírico , Galeno , Aulus Gellius , Alejandro de Afrodisias y Cicerón . [45]
Tres contribuciones significativas de la escuela estoica fueron (i) su explicación de la modalidad , (ii) su teoría del material condicional y (iii) su explicación del significado y la verdad . [46]
- Modalidad . Según Aristóteles, los megarianos de su época afirmaban que no había distinción entre potencialidad y actualidad . [47] Diodoro Cronos definió lo posible como lo que es o será, lo imposible como lo que no será verdadero y lo contingente como lo que ya es o será falso. [48] Diodoro también es famoso por lo que se conoce como su argumento maestro , que establece que cada par de las siguientes 3 proposiciones contradice la tercera proposición:
- Todo lo pasado es verdadero y necesario.
- Lo imposible no se sigue de lo posible.
- Lo que no es ni será posible.
- Diodoro usó la plausibilidad de los dos primeros para demostrar que nada es posible si no es ni será verdad. [49] Crisipo, por el contrario, negó la segunda premisa y dijo que lo imposible podía derivarse de lo posible. [50]
- Declaraciones condicionales . Los primeros lógicos en debatir las declaraciones condicionales fueron Diodoro y su alumno Filón de Megara. Sextus Empiricus se refiere tres veces a un debate entre Diodoro y Filón. Filón consideró un condicional como verdadero a menos que tenga tanto un antecedente verdadero como un consecuente falso . Precisamente, sean T 0 y T 1 enunciados verdaderos, y sean F 0 y F 1 enunciados falsos; entonces, según Filón, cada uno de los siguientes condicionales es un enunciado verdadero, porque no es el caso que el consecuente sea falso mientras que el antecedente es verdadero (no es el caso que se afirma que un enunciado falso se sigue de un enunciado verdadero ):
- Si T 0 , entonces T 1
- Si F 0 , entonces T 0
- Si F 0 , entonces F 1
- El siguiente condicional no cumple con este requisito y, por lo tanto, es una declaración falsa según Philo:
- Si T 0 , entonces F 0
- De hecho, Sexto dice: "Según [Filón], hay tres formas en las que un condicional puede ser verdadero y una en las que puede ser falso". [51] El criterio de verdad de Filón es lo que ahora se llamaría una definición funcional de verdad de "si ... entonces"; es la definición utilizada en la lógica moderna .
- Por el contrario, Diodoro permitió la validez de los condicionales solo cuando la cláusula anterior nunca podría conducir a una conclusión falsa. [51] [52] [53] Un siglo después, el filósofo estoico Crisipo atacó las suposiciones tanto de Filón como de Diodoro.
- Significado y verdad . La diferencia más importante y sorprendente entre la lógica megaria-estoica y la lógica aristotélica es que la lógica megaria-estoica se refiere a proposiciones, no a términos, y por tanto está más cerca de la lógica proposicional moderna . [54] Los estoicos distinguieron entre el enunciado ( teléfono ), que puede ser ruido, el habla ( léxico ), que es articulado pero que puede carecer de sentido, y el discurso ( logos ), que es un enunciado significativo. La parte más original de su teoría es la idea de que lo que se expresa mediante una oración, llamada lekton , es algo real; esto corresponde a lo que ahora se llama proposición . Sexto dice que según los estoicos, tres cosas están unidas: lo que significa, lo que es significado y el objeto; por ejemplo, lo que significa es la palabra Dion , y lo que se significa es lo que entienden los griegos pero los bárbaros no, y el objeto es el mismo Dion. [55]
Lógica medieval
Lógica en el Medio Oriente
Las obras de Al-Kindi , Al-Farabi , Avicenna , Al-Ghazali , Averroes y otros lógicos musulmanes se basaron en la lógica aristotélica y fueron importantes para comunicar las ideas del mundo antiguo al Occidente medieval. [56] Al-Farabi (Alfarabi) (873-950) fue un lógico aristotélico que discutió los temas de contingentes futuros , el número y relación de las categorías, la relación entre lógica y gramática y formas de inferencia no aristotélicas . [57] Al-Farabi también consideró las teorías de los silogismos condicionales y la inferencia analógica , que eran parte de la tradición estoica de la lógica en lugar de la aristotélica. [58]
Ibn Sina (Avicena) (980-1037) fue el fundador de la lógica aviceniana , que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema de lógica dominante en el mundo islámico, [59] y también tuvo una influencia importante en escritores medievales occidentales como Albertus Magnus . [60] Avicena escribió sobre el silogismo hipotético [61] y sobre el cálculo proposicional , ambos parte de la tradición lógica estoica. [62] Desarrolló una teoría silogística original "temporalmente modalizada", que involucra la lógica temporal y la lógica modal . [57] También hizo uso de la lógica inductiva , como los métodos de acuerdo, diferencia y variación concomitante que son fundamentales para el método científico . [61] Una de las ideas de Avicena tuvo una influencia particularmente importante en los lógicos occidentales como William de Ockham : la palabra de Avicena para un significado o noción ( ma'na ), fue traducida por los lógicos escolásticos como intentio en latín ; en la lógica y epistemología medievales , este es un signo en la mente que naturalmente representa una cosa. [63] Esto fue crucial para el desarrollo del conceptualismo de Ockham : un término universal ( por ejemplo, "hombre") no significa una cosa existente en la realidad, sino más bien un signo en la mente ( intentio in intellectu ) que representa muchas cosas en la realidad. ; Ockham cita el comentario de Avicena sobre Metafísica V en apoyo de este punto de vista. [64]
Fakhr al-Din al-Razi (n. 1149) criticó la " primera figura " de Aristóteles y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, presagiando el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill (1806-1873). [65] El trabajo de Al-Razi fue visto por eruditos islámicos posteriores como marcando una nueva dirección para la lógica islámica, hacia una lógica post-Aviceniana . Esto fue elaborado por su alumno Afdaladdîn al-Khûnajî (m. 1249), quien desarrolló una forma de lógica que gira en torno al tema de las concepciones y asentimientos . En respuesta a esta tradición, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) inició una tradición de lógica neoaviceniana que se mantuvo fiel al trabajo de Avicena y existió como una alternativa a la escuela posaviceniana más dominante durante los siglos siguientes. [66]
La escuela Illuminationist fue fundada por Shahab al-Din Suhrawardi (1155-1191), quien desarrolló la idea de "necesidad decisiva", que se refiere a la reducción de todas las modalidades (necesidad, posibilidad , contingencia e imposibilidad ) al modo único de necesidad. . [67] Ibn al-Nafis (1213-1288) escribió un libro sobre la lógica aviceniana, que era un comentario de Al-Isharat ( Los signos ) y Al-Hidayah ( La guía ) de Avicena . [68] Ibn Taymiyyah (1263-1328), escribió el Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin , donde argumentó en contra de la utilidad, aunque no de la validez, del silogismo [69] ya favor del razonamiento inductivo . [65] Ibn Taymiyyah también argumentó en contra de la certeza de los argumentos silogísticos ya favor de la analogía ; su argumento es que los conceptos basados en la inducción no son en sí mismos ciertos, sino solo probables, y por lo tanto un silogismo basado en tales conceptos no es más cierto que un argumento basado en la analogía. Además, afirmó que la inducción en sí se basa en un proceso de analogía. Su modelo de razonamiento analógico se basó en el de los argumentos jurídicos. [70] [71] Este modelo de analogía se ha utilizado en el trabajo reciente de John F. Sowa . [71]
El Sharh al-takmil fi'l-mantiq escrito por Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani en el siglo XV es la última obra árabe importante sobre lógica que se ha estudiado. [72] Sin embargo, "miles y miles de páginas" sobre lógica se escribieron entre los siglos XIV y XIX, aunque solo una fracción de los textos escritos durante este período han sido estudiados por historiadores, por lo que se sabe poco sobre el trabajo original sobre el Islam. lógica producida durante este período posterior. [66]
Lógica en la Europa medieval
"Lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") generalmente significa la forma de lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval durante aproximadamente el período 1200-1600. [1] Durante siglos después de que se formuló la lógica estoica, fue el sistema de lógica dominante en el mundo clásico. Cuando se reanudó el estudio de la lógica después de la Edad Media , la fuente principal fue la obra del filósofo cristiano Boecio , que estaba familiarizado con algo de la lógica de Aristóteles, pero casi nada con el trabajo de los estoicos. [73] Hasta el siglo XII, las únicas obras de Aristóteles disponibles en Occidente eran las Categorías , Sobre la interpretación y la traducción de Boecio del Isagogo del pórfido (un comentario sobre las Categorías). Estas obras fueron conocidas como la "Lógica Vieja" ( Logica Vetus o Ars Vetus ). Una obra importante de esta tradición fue la Logica Ingredientibus de Peter Abelard (1079-1142). Su influencia directa fue pequeña, [74] pero su influencia a través de alumnos como Juan de Salisbury fue grande, y su método de aplicar un análisis lógico riguroso a la teología moldeó la forma en que se desarrolló la crítica teológica en el período que siguió. [75]
A principios del siglo XIII, las obras restantes del Organon de Aristóteles (incluidas la Analítica previa , la Analítica posterior y las Refutaciones sofísticas ) se habían recuperado en Occidente. [76] El trabajo lógico hasta entonces era principalmente una paráfrasis o comentario sobre el trabajo de Aristóteles. [77] El período comprendido entre mediados del siglo XIII y mediados del siglo XIV fue uno de desarrollos significativos en la lógica, particularmente en tres áreas que eran originales, con poco fundamento en la tradición aristotélica anterior. Estos fueron: [78]
- La teoría de la suposición . La teoría de la suposición se ocupa de la forma en que los predicados ( por ejemplo, "hombre") abarcan un dominio de individuos ( por ejemplo, todos los hombres). [79] En la proposición "todo hombre es un animal", ¿el término "hombre" supera o "supone" a los hombres que existen sólo en el presente, o la gama incluye a los hombres pasados y futuros? ¿Puede un término suponer para un individuo no existente? Algunos medievalistas han argumentado que esta idea es precursora de la lógica moderna de primer orden . [80] "La teoría de la suposición con las teorías asociadas de copulatio (signo-capacidad de términos adjetivos), ampliatio (ampliación del dominio referencial) y distributio constituyen uno de los logros más originales de la lógica medieval occidental". [81]
- La teoría de los sincategoremas . Syncategoremata son términos que son necesarios para la lógica, pero que, a diferencia de los términos categoremáticos , no significan en su propio nombre, sino que "co-significan" con otras palabras. Ejemplos de syncategoremata son 'y', 'no', 'todos', 'si', etc.
- La teoría de las consecuencias . Una consecuencia es una proposición condicional hipotética: dos proposiciones unidas por los términos "si ... entonces". Por ejemplo, "si un hombre corre, entonces Dios existe" ( Si homo currit, Deus est ). [82] Una teoría de las consecuencias completamente desarrollada se da en el Libro III de la obra Summa Logicae de William of Ockham . Allí, Ockham distingue entre consecuencias "materiales" y "formales", que son aproximadamente equivalentes a la implicación material moderna y la implicación lógica, respectivamente. Jean Buridan y Alberto de Sajonia dan relatos similares .
Las últimas grandes obras de esta tradición son la Lógica de John Poinsot (1589-1644, conocido como Juan de Santo Tomás ), las Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548-1617) y la Logica demostrativa de Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) ).
Lógica tradicional
La tradición de los libros de texto
La lógica tradicional generalmente significa la tradición de libros de texto que comienza con Antoine Arnauld 's y Pierre Nicole ' s lógica, o el arte de pensar , más conocida como la Lógica de Port-Royal . [83] Publicado en 1662, fue el trabajo de lógica más influyente después de Aristóteles hasta el siglo XIX. [84] El libro presenta una doctrina vagamente cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas en lugar de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval . Entre 1664 y 1700, hubo ocho ediciones, y el libro tuvo una influencia considerable después de eso. [84] El Port-Royal introduce los conceptos de extensión e intensión . La explicación de las proposiciones que Locke da en el Ensayo es esencialmente la de Port-Royal: "Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, reunidas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. Así que la proposición consiste en en la unión o separación de estos signos, según las cosas que representan estén de acuerdo o en desacuerdo ". [85]
Dudley Fenner ayudó a popularizar la lógica ramista , una reacción contra Aristóteles. Otro trabajo influyente fue el Novum Organum de Francis Bacon , publicado en 1620. El título se traduce como "nuevo instrumento". Esta es una referencia a la obra de Aristóteles conocida como Organon . En esta obra, Bacon rechaza el método silogístico de Aristóteles en favor de un procedimiento alternativo "que mediante un trabajo lento y fiel recoge información de las cosas y la hace comprender". [86] Este método se conoce como razonamiento inductivo , un método que parte de la observación empírica y procede a axiomas o proposiciones inferiores; a partir de estos axiomas inferiores se pueden inducir otros más generales. Por ejemplo, para encontrar la causa de una naturaleza fenomenal como el calor, se deben construir 3 listas:
- La lista de presencia: una lista de todas las situaciones en las que se encuentra el calor.
- La lista de ausencias: una lista de todas las situaciones que es similar al menos a una de las de la lista de presencia, excepto por la falta de calor.
- La lista de variabilidad: una lista de todas las situaciones en las que el calor puede variar.
Entonces, la naturaleza de la forma (o causa) del calor puede definirse como aquello que es común a todas las situaciones de la lista de presencia, y que falta en todas las situaciones de la lista de ausencias, y que varía según el grado en cada situación de variabilidad. lista.
Otras obras en la tradición de libros de texto incluyen Isaac Watts 's Logick: O bien, el uso correcto de la razón (1725), Richard Whately ' s Lógica (1826), y John Stuart Mill 's un sistema de lógica (1843). Aunque esta última fue una de las últimas grandes obras de la tradición, la opinión de Mill de que los fundamentos de la lógica se encuentran en la introspección [87] influyó en la opinión de que la lógica se entiende mejor como una rama de la psicología, una visión que dominó los siguientes cincuenta años de su desarrollo, especialmente en Alemania. [88]
Lógica en la filosofía de Hegel
GWF Hegel indicó la importancia de la lógica para su sistema filosófico cuando condensó su extensa Ciencia de la Lógica en un trabajo más corto publicado en 1817 como el primer volumen de su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas. La lógica "más corta" o "enciclopedia" , como se la conoce a menudo, establece una serie de transiciones que conducen desde las categorías más vacías y abstractas (Hegel comienza con "Ser puro" y "Nada puro") a la " Absoluta ". ", la categoría que contiene y resuelve todas las categorías que la precedieron. A pesar del título, la lógica de Hegel no es realmente una contribución a la ciencia de la inferencia válida. En lugar de derivar conclusiones sobre conceptos mediante inferencias válidas a partir de premisas, Hegel busca mostrar que pensar en un concepto obliga a pensar en otro concepto (no se puede, argumenta, poseer el concepto de "Calidad" sin el concepto de "Cantidad"); esta compulsión no es, supuestamente, una cuestión de psicología individual, porque surge casi orgánicamente del contenido de los conceptos mismos. Su propósito es mostrar la estructura racional del "Absoluto", de hecho, la racionalidad misma. El método por el cual el pensamiento es conducido de un concepto a su contrario, y luego a otros conceptos, se conoce como dialéctica hegeliana .
Aunque la lógica de Hegel ha tenido poco impacto en los estudios lógicos convencionales, su influencia se puede ver en otros lugares:
- Carl von Prantl 's Geschichte der Logik en Abendland (1855-1867). [89]
- El trabajo de los idealistas británicos , como Principios de lógica de FH Bradley (1883).
- Los estudios económicos, políticos y filosóficos de Karl Marx y en las diversas escuelas del marxismo .
Lógica y psicología
Entre la obra de Mill y Frege se extendió medio siglo durante el cual la lógica fue ampliamente tratada como una ciencia descriptiva, un estudio empírico de la estructura del razonamiento y, por lo tanto, esencialmente como una rama de la psicología . [90] El psicólogo alemán Wilhelm Wundt , por ejemplo, discutió derivar "lo lógico de las leyes psicológicas del pensamiento", enfatizando que "el pensamiento psicológico es siempre la forma más integral de pensamiento". [91] Este punto de vista estaba muy extendido entre los filósofos alemanes de la época:
- Theodor Lipps describió la lógica como "una disciplina específica de la psicología". [92]
- Christoph von Sigwart entendió la necesidad lógica como basada en la compulsión del individuo a pensar de cierta manera. [93]
- Benno Erdmann argumentó que "las leyes lógicas solo se mantienen dentro de los límites de nuestro pensamiento". [94]
Tal fue la visión dominante de la lógica en los años posteriores al trabajo de Mill. [95] Este enfoque psicológico de la lógica fue rechazado por Gottlob Frege . También fue objeto de una crítica extensa y destructiva por parte de Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas (1900), un asalto que ha sido descrito como "abrumador". [96] Husserl argumentó enérgicamente que fundamentar la lógica en observaciones psicológicas implicaba que todas las verdades lógicas permanecían sin probar, y que el escepticismo y el relativismo eran consecuencias inevitables.
Tales críticas no extirparon inmediatamente lo que se llama " psicologismo ". Por ejemplo, el filósofo estadounidense Josiah Royce , aunque reconoció la fuerza de la crítica de Husserl, permaneció "incapaz de dudar" de que el progreso en psicología iría acompañado de progreso en lógica y viceversa. [97]
Surgimiento de la lógica moderna
El período comprendido entre el siglo XIV y el comienzo del siglo XIX fue en gran parte de decadencia y abandono, y los historiadores de la lógica lo consideran en general estéril. [2] El resurgimiento de la lógica se produjo a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que la asignatura se convirtió en una disciplina rigurosa y formalista cuyo modelo fue el método exacto de demostración utilizado en matemáticas . El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período es el más significativo en los 2000 años de historia de la lógica, y es posiblemente uno de los eventos más importantes y notables de la historia intelectual humana. [4]
Varias características distinguen la lógica moderna de la vieja lógica aristotélica o tradicional, las más importantes de las cuales son las siguientes: [98] La lógica moderna es fundamentalmente un cálculo cuyas reglas de operación están determinadas sólo por la forma y no por el significado de la símbolos que emplea, como en las matemáticas. Muchos lógicos quedaron impresionados por el "éxito" de las matemáticas, en el sentido de que no había habido una disputa prolongada sobre ningún resultado verdaderamente matemático. CS Peirce señaló [99] que aunque un error en la evaluación de una integral definida por Laplace condujo a un error sobre la órbita de la luna que persistió durante casi 50 años, el error, una vez detectado, se corrigió sin ninguna disputa seria. Peirce contrastó esto con la disputa y la incertidumbre que rodea a la lógica tradicional, y especialmente al razonamiento en metafísica . Argumentó que una lógica verdaderamente "exacta" dependería del pensamiento matemático, es decir, "esquemático" o "icónico". "Aquellos que sigan tales métodos ... escaparán de todos los errores, excepto los que serán rápidamente corregidos una vez que se sospeche de ellos". La lógica moderna también es "constructiva" en lugar de "abstractiva"; es decir, en lugar de abstraer y formalizar teoremas derivados del lenguaje ordinario (o de intuiciones psicológicas sobre la validez), construye teoremas mediante métodos formales y luego busca una interpretación en el lenguaje ordinario. Es completamente simbólico, lo que significa que incluso las constantes lógicas (que los lógicos medievales llamaron " syncategoremata ") y los términos categóricos se expresan en símbolos.
Lógica moderna
El desarrollo de la lógica moderna se divide en aproximadamente cinco períodos: [100]
- El período embrionario desde Leibniz hasta 1847, cuando la noción de cálculo lógico fue discutida y desarrollada, particularmente por Leibniz, pero no se formaron escuelas y los intentos periódicos aislados fueron abandonados o pasaron desapercibidos.
- El período algebraico desde el análisis de Boole hasta el Vorlesungen de Schröder . En este período, hubo más practicantes y una mayor continuidad de desarrollo.
- El período lógico desde la Begriffsschrift de Frege hasta los Principia Mathematica de Russell y Whitehead . El objetivo de la "escuela lógica" era incorporar la lógica de todo discurso matemático y científico en un único sistema unificado que, tomando como principio fundamental que todas las verdades matemáticas son lógicas, no acepta ninguna terminología no lógica. Los principales logicistas fueron Frege , Russell y los primeros Wittgenstein . [101] Culmina con los Principia , un trabajo importante que incluye un examen minucioso y un intento de solución de las antinomias que habían sido un obstáculo para el progreso anterior.
- El período metamatemático de 1910 a la década de 1930, que vio el desarrollo de la metalógica , en el sistema finitista de Hilbert , y el sistema no finitista de Löwenheim y Skolem , la combinación de lógica y metalógica en la obra de Gödel y Tarski . El teorema de incompletitud de Gödel de 1931 fue uno de los mayores logros en la historia de la lógica. Más tarde, en la década de 1930, Gödel desarrolló la noción de constructibilidad de la teoría de conjuntos .
- El período posterior a la Segunda Guerra Mundial , cuando la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos , teoría de pruebas , teoría de computabilidad y teoría de conjuntos , y sus ideas y métodos comenzaron a influir en la filosofía .
Período embrionario
La idea de que la inferencia podría representarse mediante un proceso puramente mecánico se encuentra ya en Raymond Llull , quien propuso un método (algo excéntrico) para sacar conclusiones mediante un sistema de anillos concéntricos. El trabajo de lógicos como Oxford Calculators [102] condujo a un método de utilizar letras en lugar de escribir cálculos lógicos ( cálculos ) en palabras, un método utilizado, por ejemplo, en la Logica magna de Paul de Venecia . Trescientos años después de Llull, el filósofo y lógico inglés Thomas Hobbes sugirió que toda lógica y razonamiento podían reducirse a las operaciones matemáticas de suma y resta. [103] La misma idea se encuentra en la obra de Leibniz , quien había leído tanto a Llull como a Hobbes, y quien argumentó que la lógica se puede representar mediante un proceso combinatorio o cálculo. Pero, como Llull y Hobbes, no logró desarrollar un sistema detallado o completo, y su trabajo sobre este tema no se publicó hasta mucho después de su muerte. Leibniz dice que los lenguajes ordinarios están sujetos a "incontables ambigüedades" y no son adecuados para un cálculo, cuya tarea es exponer los errores en la inferencia que surgen de las formas y estructuras de las palabras; [104] por lo tanto, propuso identificar un alfabeto del pensamiento humano que comprenda conceptos fundamentales que pudieran componerse para expresar ideas complejas, [105] y crear un razonador de cálculo que hiciera todos los argumentos "tan tangibles como los de los matemáticos, de modo que podemos encontrar nuestro error de un vistazo, y cuando hay disputas entre personas, simplemente podemos decir: Calculemos ". [106]
Gergonne (1816) dijo que el razonamiento no tiene por qué ser sobre objetos sobre los que uno tiene ideas perfectamente claras, porque las operaciones algebraicas pueden llevarse a cabo sin tener idea del significado de los símbolos involucrados. [107] Bolzano anticipó una idea fundamental de la teoría de la prueba moderna cuando definió la consecuencia lógica o "deducibilidad" en términos de variables: [108]
Por eso digo que las proposiciones , , ,… Son deducibles de proposiciones, , , ,… Con respecto a las partes variables , , ..., si toda clase de ideas cuya sustitución por , , ... hace todo , , , , ... cierto, también hace que todos , , ,… cierto. De vez en cuando, como es costumbre, diré que las proposiciones, , ,… Siguen , o pueden inferirse o derivarse , de, , , ,…. Proposiciones, , , , ... llamaré al local ,, , ,… Las conclusiones.
Esto ahora se conoce como validez semántica .
Período algebraico
La lógica moderna comienza con lo que se conoce como la "escuela algebraica", que se originó con Boole e incluye a Peirce , Jevons , Schröder y Venn . [109] Su objetivo era desarrollar un cálculo para formalizar el razonamiento en el área de clases, proposiciones y probabilidades. La escuela comienza con la obra fundamental de Boole, Análisis matemático de la lógica, que apareció en 1847, aunque De Morgan (1847) es su precursor inmediato. [110] La idea fundamental del sistema de Boole es que las fórmulas algebraicas se pueden utilizar para expresar relaciones lógicas. Esta idea se le ocurrió a Boole en su adolescencia, trabajando como acomodador en una escuela privada en Lincoln, Lincolnshire . [111] Por ejemplo, sean xey las clases, dejemos que el símbolo = signifique que las clases tienen los mismos miembros, xy representa la clase que contiene todos y solo los miembros de xey y así sucesivamente. Boole llama a estos símbolos electivos , es decir, símbolos que seleccionan ciertos objetos para su consideración. [112] Una expresión en la que se utilizan símbolos electivos se denomina función electiva , y una ecuación cuyos miembros son funciones electivas es una ecuación electiva . [113] La teoría de las funciones electivas y su "desarrollo" es esencialmente la idea moderna de las funciones de verdad y su expresión en forma normal disyuntiva . [112]
El sistema de Boole admite dos interpretaciones, en lógica de clases y lógica proposicional. Boole distinguió entre "proposiciones primarias" que son el tema de la teoría silogística, y "proposiciones secundarias", que son el tema de la lógica proposicional, y mostró cómo bajo diferentes "interpretaciones" el mismo sistema algebraico podría representar ambos. Un ejemplo de una proposición primaria es "Todos los habitantes son europeos o asiáticos". Un ejemplo de una proposición secundaria es "O todos los habitantes son europeos o todos son asiáticos". [114] Estos se distinguen fácilmente en la lógica de predicados moderna, donde también es posible mostrar que el primero se sigue del segundo, pero es una desventaja significativa que no hay forma de representar esto en el sistema booleano. [115]
En su Lógica simbólica (1881), John Venn usó diagramas de áreas superpuestas para expresar relaciones booleanas entre clases o condiciones de verdad de proposiciones. En 1869 Jevons se dio cuenta de que los métodos de Boole podían mecanizarse y construyó una "máquina lógica" que mostró a la Royal Society el año siguiente. [112] En 1885, Allan Marquand propuso una versión eléctrica de la máquina que aún existe ( imagen en la Biblioteca Firestone ).
Todos los defectos del sistema de Boole (como el uso de la letra v para las proposiciones existenciales) fueron subsanados por sus seguidores. Jevons publicó Pure Logic, o la lógica de la calidad aparte de la cantidad en 1864, donde sugirió un símbolo para significar exclusivo o , lo que permitió que el sistema de Boole se simplificara enormemente. [116] Esto fue útilmente aprovechado por Schröder cuando estableció teoremas en columnas paralelas en su Vorlesungen (1890-1905). Peirce (1880) mostró cómo todas las funciones electivas booleanas podrían expresarse mediante el uso de una sola operación binaria primitiva, " ni ... ni ... " e igualmente bien " no ambos ... y ... ", [ 117] sin embargo, como muchas de las innovaciones de Peirce, esto permaneció desconocido o inadvertido hasta que Sheffer lo redescubrió en 1913. [118] Los primeros trabajos de Boole también carecen de la idea de la suma lógica que se origina en Peirce (1867), Schröder (1877) y Jevons. (1890), [119] y el concepto de inclusión , sugerido por primera vez por Gergonne (1816) y claramente articulado por Peirce (1870).
El éxito del sistema algebraico de Boole sugirió que toda lógica debe ser capaz de representación algebraica, y hubo intentos de expresar una lógica de relaciones en tal forma, de los cuales el más ambicioso fue el monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik de Schröder ("Conferencias sobre el Álgebra de la lógica ", vol. III 1895), aunque la idea original fue nuevamente anticipada por Peirce. [120]
La aceptación inquebrantable de Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una introducción accesible a las leyes del pensamiento [121]. Corcoran también escribió una comparación punto por punto de la analítica previa y las leyes del pensamiento . [122] Según Corcoran, Boole aceptó y apoyó plenamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles al 1) proporcionarle fundamentos matemáticos que involucren ecuaciones, 2) extender la clase de problemas que podría tratar, desde evaluar la validez hasta resolver ecuaciones, y 3) expandir el rango de aplicaciones que podría manejar, por ejemplo, desde proposiciones que tienen solo dos términos hasta aquellas que tienen muchos arbitrariamente.
Más específicamente, Boole estuvo de acuerdo con lo que dijo Aristóteles ; Los "desacuerdos" de Boole, si se les puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. Primero, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica aristotélica a fórmulas en forma de ecuaciones, una idea revolucionaria en sí misma. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de lógica, la adición de Boole de la resolución de ecuaciones a la lógica - otra idea revolucionaria - implicó la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los "silogismos perfectos") deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de múltiples términos, mientras que Aristóteles solo podía manejar proposiciones y argumentos sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir "Ningún cuadrilátero que es un cuadrado es un rectángulo que es un rombo" de "Ningún cuadrado que es un cuadrilátero es un rombo que es un rectángulo" o de "Ningún rombo que es un rectángulo es un cuadrado que es un cuadrilátero ".
Período del lógico
Después de Boole, los siguientes grandes avances los realizó el matemático alemán Gottlob Frege . El objetivo de Frege era el programa del Logicismo , es decir, demostrar que la aritmética es idéntica a la lógica. [123] Frege fue mucho más lejos que cualquiera de sus predecesores en su enfoque riguroso y formal de la lógica, y su cálculo o Begriffsschrift es importante. [123] Frege también intentó mostrar que el concepto de número puede definirse por medios puramente lógicos, de modo que (si tenía razón) la lógica incluye la aritmética y todas las ramas de las matemáticas que son reducibles a la aritmética. No fue el primer escritor en sugerir esto. En su trabajo pionero Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), secciones 15-17, reconoce los esfuerzos de Leibniz, JS Mill y Jevons, citando la afirmación de este último de que "el álgebra es una lógica muy desarrollada, y discriminación lógica ". [124]
El primer trabajo de Frege, el Begriffsschrift ("guión conceptual") es un sistema rigurosamente axiomatizado de lógica proposicional, que se basa en solo dos conectivos (negacional y condicional), dos reglas de inferencia ( modus ponens y sustitución) y seis axiomas. Frege se refirió a la "integridad" de este sistema, pero no pudo probarlo. [125] La innovación más significativa, sin embargo, fue su explicación del cuantificador en términos de funciones matemáticas. La lógica tradicional considera que la oración "César es un hombre" tiene fundamentalmente la misma forma que "todos los hombres son mortales". Las oraciones con un sujeto de nombre propio se consideraban de carácter universal, interpretables como "todo César es un hombre". [126] Al principio Frege abandona los tradicionales "conceptos sujeto y predicado ", reemplazándolos con argumento y función respectivamente, que él cree "resistirán la prueba del tiempo. Es fácil ver cómo considerar un contenido como una función de un el argumento conduce a la formación de conceptos. Además, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o hay, algunos, todos, etc., merece atención ". [127] Frege argumentó que la expresión cuantificadora "todos los hombres" no tiene la misma forma lógica o semántica que "todos los hombres", y que la proposición universal "todo A es B" es una proposición compleja que involucra dos funciones , a saber '- es A 'y' - es B 'tal que todo lo que satisface al primero, también satisface al segundo. En notación moderna, esto se expresaría como
En inglés, "para todo x, si Ax, entonces Bx". Así, sólo las proposiciones singulares tienen forma sujeto-predicado, y son irreductiblemente singulares, es decir, no reducibles a una proposición general. Las proposiciones universales y particulares, por el contrario, no tienen una forma simple de sujeto-predicado en absoluto. Si "todos los mamíferos" fuera el sujeto lógico de la oración "todos los mamíferos son habitantes de la tierra", entonces para negar toda la oración tendríamos que negar el predicado para dar "todos los mamíferos no son habitantes de la tierra". Pero este no es el caso. [128] Este análisis funcional de las oraciones del lenguaje ordinario tuvo más tarde un gran impacto en la filosofía y la lingüística .
Esto significa que en el cálculo de Frege, las proposiciones "primarias" de Boole se pueden representar de una manera diferente a las proposiciones "secundarias". "Todos los habitantes son hombres o mujeres" es
mientras que "Todos los habitantes son hombres o todos los habitantes son mujeres" es
Como comentó Frege en una crítica del cálculo de Boole:
- "La verdadera diferencia es que evito la división [booleana] en dos partes ... y doy una presentación homogénea del lote. En Boole, las dos partes corren una junto a la otra, de modo que una es como la imagen especular de la otra, pero por esa misma razón no tiene ninguna relación orgánica con él ' [129]
Además de proporcionar un sistema de lógica unificado y completo, el cálculo de Frege también resolvió el antiguo problema de la generalidad múltiple . La ambigüedad de "cada chica besó a un chico" es difícil de expresar en la lógica tradicional, pero la lógica de Frege lo resuelve a través de los diferentes alcances de los cuantificadores. Por lo tanto
significa que a cada chica le corresponde algún chico (cualquiera servirá) al que la chica besó. Pero
significa que hay un chico en particular a quien todas las chicas besaban. Sin este dispositivo, el proyecto del logicismo habría sido dudoso o imposible. Utilizándolo, Frege proporcionó una definición de la relación ancestral , de la relación de muchos a uno y de la inducción matemática . [130]
Este período se superpone con el trabajo de lo que se conoce como la "escuela matemática", que incluyó a Dedekind , Pasch , Peano , Hilbert , Zermelo , Huntington , Veblen y Heyting . Su objetivo era la axiomatización de ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. El más notable fue el Programa de Hilbert , que buscaba basar todas las matemáticas en un conjunto finito de axiomas, probando su consistencia por medios "finitistas" y proporcionando un procedimiento que decidiría la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático. La axiomatización estándar de los números naturales recibe el nombre epónimo de los axiomas de Peano . Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos. Aunque desconocía el trabajo de Frege, recreó de forma independiente su aparato lógico basado en el trabajo de Boole y Schröder. [131]
El proyecto lógico sufrió un revés casi fatal con el descubrimiento de una paradoja en 1901 por Bertrand Russell . Esto demostró que la ingenua teoría de conjuntos de Frege conducía a una contradicción. La teoría de Frege contenía el axioma de que para cualquier criterio formal, existe un conjunto de todos los objetos que cumplen con el criterio. Russell demostró que un conjunto que contiene exactamente los conjuntos que no son miembros de sí mismos contradeciría su propia definición (si no es un miembro de sí mismo, es un miembro de sí mismo, y si es un miembro de sí mismo, no lo es) . [132] Esta contradicción ahora se conoce como paradoja de Russell . Ernst Zermelo propuso un método importante para resolver esta paradoja . [133] La teoría de conjuntos de Zermelo fue la primera teoría de conjuntos axiomática . Se desarrolló en la ahora canónica teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). La paradoja de Russell simbólicamente es la siguiente:
El monumental Principia Mathematica , un trabajo en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas , escrito por Russell y Alfred North Whitehead y publicado en 1910-13, también incluyó un intento de resolver la paradoja, por medio de un elaborado sistema de tipos : un conjunto de elementos. es de un tipo diferente al de cada uno de sus elementos (el conjunto no es el elemento; un elemento no es el conjunto) y no se puede hablar del " conjunto de todos los conjuntos ". Los Principia fueron un intento de derivar todas las verdades matemáticas de un conjunto bien definido de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica .
Período metamatemático
Los nombres de Gödel y Tarski dominan la década de 1930, [134] un período crucial en el desarrollo de las metamatemáticas : el estudio de las matemáticas utilizando métodos matemáticos para producir metateorías , o teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. Las primeras investigaciones sobre metamatemáticas habían sido impulsadas por el programa de Hilbert. El trabajo sobre metamatemáticas culminó con el trabajo de Gödel, quien en 1929 demostró que una oración de primer orden dada es deducible si y solo si es lógicamente válida, es decir, es verdadera en todas las estructuras de su lenguaje. Esto se conoce como teorema de completitud de Gödel . Un año después, demostró dos teoremas importantes, que demostraron que el programa de Hibert era inalcanzable en su forma original. La primera es que ningún sistema coherente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un procedimiento eficaz , como un algoritmo o un programa de computadora, es capaz de probar todos los hechos sobre los números naturales . Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no puedan demostrarse dentro del sistema. La segunda es que si tal sistema también es capaz de probar ciertos hechos básicos sobre los números naturales, entonces el sistema no puede probar la consistencia del sistema en sí. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel , o simplemente teorema de Gödel . Más adelante en la década, Gödel desarrolló el concepto de constructibilidad de la teoría de conjuntos , como parte de su prueba de que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son consistentes con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En la teoría de la prueba , Gerhard Gentzen desarrolló la deducción natural y el cálculo secuencial . El primero intenta modelar el razonamiento lógico como ocurre "naturalmente" en la práctica y se aplica más fácilmente a la lógica intuicionista , mientras que el segundo fue ideado para aclarar la derivación de pruebas lógicas en cualquier sistema formal. Desde el trabajo de Gentzen, la deducción natural y los cálculos secuenciales se han aplicado ampliamente en los campos de la teoría de la prueba, la lógica matemática y la informática. Gentzen también probó los teoremas de normalización y eliminación de cortes para la lógica intuicionista y clásica que podrían usarse para reducir las demostraciones lógicas a una forma normal. [135] [136]
Alfred Tarski , alumno de Łukasiewicz , es mejor conocido por su definición de verdad y consecuencia lógica , y el concepto semántico de satisfacción lógica . En 1933, publicó (en polaco) El concepto de verdad en lenguajes formalizados , en el que propuso su teoría semántica de la verdad : una oración como "la nieve es blanca" es verdadera si y sólo si la nieve es blanca. La teoría de Tarski separó el metalenguaje , que hace el enunciado sobre la verdad, del lenguaje objeto , que contiene la oración cuya verdad se afirma, y dio una correspondencia (el esquema T ) entre frases en el lenguaje objeto y elementos de una interpretación . El enfoque de Tarski de la difícil idea de explicar la verdad ha tenido una influencia duradera en la lógica y la filosofía, especialmente en el desarrollo de la teoría de modelos . [137] Tarski también produjo un trabajo importante sobre la metodología de los sistemas deductivos y sobre principios fundamentales como la integridad , la decidibilidad , la coherencia y la definibilidad . Según Anita Feferman, Tarski "cambió el rostro de la lógica en el siglo XX". [138]
Alonzo Church y Alan Turing propusieron modelos formales de computabilidad, dando soluciones negativas independientes al Entscheidungsproblem de Hilbert en 1936 y 1937, respectivamente. El Entscheidungsproblem pidió un procedimiento que, dado cualquier enunciado matemático formal, determinaría algorítmicamente si el enunciado es verdadero. Church y Turing demostraron que no existe tal procedimiento; El artículo de Turing presentó el problema de la detención como un ejemplo clave de un problema matemático sin una solución algorítmica.
El sistema de cálculo de Church se convirtió en el moderno cálculo λ , mientras que la máquina de Turing se convirtió en un modelo estándar para un dispositivo informático de uso general. Pronto se demostró que muchos otros modelos de cálculo propuestos eran equivalentes en potencia a los propuestos por Church y Turing. Estos resultados llevaron a la tesis de Church-Turing de que cualquier algoritmo determinista que pueda ser llevado a cabo por un ser humano puede ser realizado por una máquina de Turing. Church demostró resultados de indecidibilidad adicionales, mostrando que tanto la aritmética de Peano como la lógica de primer orden son indecidibles . El trabajo posterior de Emil Post y Stephen Cole Kleene en la década de 1940 amplió el alcance de la teoría de la computabilidad e introdujo el concepto de grados de insolubilidad .
Los resultados de las primeras décadas del siglo XX también tuvieron un impacto en la filosofía analítica y lógica filosófica , sobre todo a partir de los años 1950 en adelante, en temas tales como la lógica modal , lógica temporal , lógica deóntica , y la lógica relevante .
Lógica después de la Segunda Guerra Mundial
Después de la Segunda Guerra Mundial, la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos , teoría de pruebas , teoría de computabilidad y teoría de conjuntos . [139]
En la teoría de conjuntos, el método de forzar revolucionó el campo al proporcionar un método robusto para construir modelos y obtener resultados de independencia. Paul Cohen introdujo este método en 1963 para probar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . [140] Su técnica, que fue simplificada y ampliada poco después de su introducción, se ha aplicado desde entonces a muchos otros problemas en todas las áreas de la lógica matemática.
La teoría de la computabilidad tiene sus raíces en el trabajo de Turing, Church, Kleene y Post en las décadas de 1930 y 1940. Se convirtió en un estudio de computabilidad abstracta, que se conoció como teoría de recursividad . [141] El método de prioridad , descubierto independientemente por Albert Muchnik y Richard Friedberg en la década de 1950, condujo a importantes avances en la comprensión de los grados de insolubilidad y estructuras relacionadas. La investigación sobre la teoría de la computabilidad de orden superior demostró sus conexiones con la teoría de conjuntos. Los campos de análisis constructivo y análisis computable se desarrollaron para estudiar el contenido efectivo de los teoremas matemáticos clásicos; éstos, a su vez, inspiraron el programa de matemáticas inversas . Una rama separada de la teoría de la computabilidad, la teoría de la complejidad computacional , también se caracterizó en términos lógicos como resultado de las investigaciones sobre la complejidad descriptiva .
La teoría de modelos aplica los métodos de la lógica matemática para estudiar modelos de teorías matemáticas particulares. Alfred Tarski publicó muchos trabajos pioneros en el campo, que llevan el nombre de una serie de artículos que publicó bajo el título Contribuciones a la teoría de modelos . En la década de 1960, Abraham Robinson utilizó técnicas de teoría de modelos para desarrollar el cálculo y el análisis basados en infinitesimales , un problema que fue propuesto por primera vez por Leibniz.
En la teoría de la prueba, la relación entre las matemáticas clásicas y las matemáticas intuicionistas se aclaró mediante herramientas como el método de realizabilidad inventado por Georg Kreisel y la interpretación de Dialectica de Gödel . Este trabajo inspiró el área contemporánea de la prueba minera . La correspondencia Curry-Howard surgió como una analogía profunda entre la lógica y la computación, incluida una correspondencia entre los sistemas de deducción natural y los cálculos lambda tipificados utilizados en la informática. Como resultado, la investigación en esta clase de sistemas formales comenzó a abordar aspectos tanto lógicos como computacionales; esta área de investigación llegó a conocerse como teoría de tipos moderna. También se realizaron avances en el análisis ordinal y el estudio de los resultados de independencia en aritmética, como el teorema de París-Harrington .
Este fue también un período, particularmente en la década de 1950 y después, en el que las ideas de la lógica matemática comienzan a influir en el pensamiento filosófico. Por ejemplo, la lógica del tiempo es un sistema formalizado para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo. El filósofo Arthur Prior jugó un papel importante en su desarrollo en la década de 1960. La lógica modal amplía el alcance de la lógica formal para incluir los elementos de la modalidad (por ejemplo, posibilidad y necesidad ). Las ideas de Saul Kripke , particularmente sobre los mundos posibles , y el sistema formal ahora llamado semántica de Kripke han tenido un profundo impacto en la filosofía analítica . [142] Su trabajo más conocido e influyente es Naming and Necessity (1980). [143] Las lógicas deónticas están estrechamente relacionadas con las lógicas modales: intentan capturar las características lógicas de obligación , permiso y conceptos relacionados. Aunque Bolzano mostró algunas novedades básicas que sincretizaron la lógica matemática y filosófica a principios del siglo XIX, fue Ernst Mally , alumno de Alexius Meinong , quien propondría el primer sistema deóntico formal en su Grundgesetze des Sollens , basado en la sintaxis de Whitehead. y el cálculo proposicional de Russell .
Otro sistema lógico fundado después de la Segunda Guerra Mundial fue la lógica difusa del matemático azerbaiyano Lotfi Asker Zadeh en 1965.
Ver también
- Historia del razonamiento deductivo
- Historia del razonamiento inductivo
- Historia del razonamiento abductivo
- Historia del concepto de función
- Historia de las Matemáticas
- Historia de la Filosofía
- Barba de Platón
- Cronología de la lógica matemática
Notas
- ^ a b Boehner p. xiv
- ^ a b Compañero de Oxford p. 498; Bochenski, Parte I Introducción, passim
- ^ Gottlob Frege. Los fundamentos de la aritmética (PDF) . pag. 1.
- ^ a b Compañero de Oxford p. 500
- ^ Bochenski p. 446
- ^ SC Vidyabhusana (1971). Una historia de la lógica india: escuelas antiguas, medievales y modernas , págs. 17–21.
- ^ RP Kangle (1986). El Kautiliya Arthashastra (1.2.11). Motilal Banarsidass.
- ^ Bochenski p. 417 y passim
- ^ Bochenski págs. 431-7
- ^ Matilal, Bimal Krishna (1998). El carácter de la lógica en la India . Albany, NY: Prensa de la Universidad Estatal de Nueva York. págs. 12, 18. ISBN 9780791437407.
- ^ Bochenksi p. 441
- ↑ Matilal, 17
- ^ Kneale, pág. 2
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enlaces externos
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- Perspectivas, imágenes y biografías de 171 lógicos por David Marans