En matemáticas , una secuencia de Beatty (o secuencia de Beatty homogénea ) es la secuencia de números enteros que se encuentran tomando el piso de los múltiplos positivos de un número irracional positivo . Las secuencias de Beatty llevan el nombre de Samuel Beatty , quien escribió sobre ellas en 1926.
El teorema de Rayleigh , que lleva el nombre de Lord Rayleigh , establece que el complemento de una secuencia de Beatty, que consiste en los enteros positivos que no están en la secuencia, es en sí mismo una secuencia de Beatty generada por un número irracional diferente.
Las secuencias de Beatty también se pueden utilizar para generar palabras Sturmian .
Definición
Un número irracional positivo genera la secuencia Beatty
Si luego también es un número irracional positivo. Estos dos números satisfacen naturalmente la ecuación. Las dos secuencias de Beatty que generan,
- y
- ,
forman un par de secuencias Beatty complementarias . Aquí, "complementario" significa que cada entero positivo pertenece exactamente a una de estas dos secuencias.
Ejemplos de
Cuando r es la media áurea , tenemos s = r + 1. En este caso, la secuencia, conocida como la secuencia de Wythoff inferior , es
- 1 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11 , 12 , 14 , 16 , 17 , 19 , 21 , 22 , 24 , 25 , 27 , 29 , ... (secuencia A000201 en la OEIS ).
y la secuencia complementaria , la secuencia superior de Wythoff , es
- 2 , 5 , 7 , 10 , 13 , 15 , 18 , 20 , 23 , 26 , 28 , 31 , 34 , 36 , 39 , 41 , 44 , 47 , ... (secuencia A001950 en la OEIS ).
Estas secuencias definen la estrategia óptima para el juego de Wythoff y se utilizan en la definición de la matriz de Wythoff.
Como otro ejemplo, para r = √ 2 , tenemos s = 2 + √ 2 . En este caso, las secuencias son
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (secuencia A001951 en la OEIS ) y
- 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (secuencia A001952 en la OEIS ).
Y para r = π y s = π / (π - 1) las secuencias son
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (secuencia A022844 en la OEIS ) y
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (secuencia A054386 en la OEIS ).
Cualquier número de la primera secuencia está ausente en la segunda y viceversa.
Historia
Las secuencias de Beatty recibieron su nombre del problema planteado en el American Mathematical Monthly por Samuel Beatty en 1926. [1] [2] Es probablemente uno de los problemas más citados jamás planteados en el Monthly . Sin embargo, incluso antes, en 1894, tales secuencias fueron mencionadas brevemente por John W. Strutt (tercer barón Rayleigh) en la segunda edición de su libro The Theory of Sound . [3]
Teorema de Rayleigh
El teorema de Rayleigh (también conocido como teorema de Beatty ) establece que dado un número irracional existe para que las secuencias de Beatty y particionar el conjunto de enteros positivos: cada entero positivo pertenece exactamente a una de las dos secuencias. [3]
Primera prueba
Dado dejar . Debemos demostrar que todo entero positivo se encuentra en una y solo una de las dos secuencias. y . Lo haremos considerando las posiciones ordinales ocupadas por todas las fracciones y cuando se enumeran conjuntamente en orden no decreciente para los enteros positivos j y k .
Para ver que dos de los números no pueden ocupar la misma posición (como un solo número), suponga lo contrario que para algunos j y k . Luego = , un número racional , pero también,no es un número racional. Por lo tanto, no hay dos números que ocupen la misma posición.
Para cualquier , existen enteros positivos tal que y enteros positivos tal que , de modo que la posición de en la lista es . La ecuacion implica
Asimismo, la posición de en la lista es .
Conclusión: cada entero positivo (es decir, cada posición en la lista) tiene la forma o de la forma , pero no ambos. La declaración contrario también es cierto: si p y q son dos números reales tales que cada número entero positivo se produce, precisamente, una vez en la lista anterior, a continuación, p y q son irracionales y la suma de sus inversos: 1.
Segunda prueba
Las colisiones : Supongamos que, contrariamente a la teorema, hay números enteros j > 0 y k y m tal que
Esto es equivalente a las desigualdades
Para que no sea cero j , la irracionalidad de r y s es incompatible con la igualdad, por lo
que conducen a
Sumando estos y usando la hipótesis, obtenemos
lo cual es imposible (no se puede tener un número entero entre dos números enteros adyacentes). Por tanto, la suposición debe ser falsa.
Anti-colisiones : Supongamos que, contrariamente a la teorema, hay números enteros j > 0 y k y m tal que
Desde j + 1 no es cero y r y s son irracionales, podemos excluir la igualdad, por lo
Entonces obtenemos
Sumando las desigualdades correspondientes, obtenemos
que también es imposible. Por tanto, la suposición es falsa.
Propiedades
si y solo si
dónde denota la parte fraccionaria de es decir, .
Prueba:
Además, .
Prueba:
Relación con secuencias Sturmian
La primera diferencia
de la secuencia de Beatty asociada con el número irracional es una palabra característica de Sturmian sobre el alfabeto.
Generalizaciones
Si se modifica ligeramente, el teorema de Rayleigh se puede generalizar a números reales positivos (no necesariamente irracionales) y también a enteros negativos: si son números reales positivos y satisfacer , las secuencias y formar una partición de enteros.
El teorema de Lambek-Moser generaliza el teorema de Rayleigh y muestra que los pares más generales de secuencias definidas a partir de una función entera y su inversa tienen la misma propiedad de dividir los enteros.
El teorema de Uspensky establece que, si son números reales positivos tales que contiene todos los enteros positivos exactamente una vez, entonces Es decir, no hay equivalente del teorema de Rayleigh a tres o más secuencias de Beatty. [4] [5]
Referencias
- ^ Beatty, Samuel (1926). "Problema 3173". American Mathematical Monthly . 33 (3): 159. doi : 10.2307 / 2300153 .
- ^ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken (1927). "Soluciones al problema 3173". American Mathematical Monthly . 34 (3): 159–160. doi : 10.2307 / 2298716 . JSTOR 2298716 .
- ^ a b John William Strutt, tercer barón Rayleigh (1894). La teoría del sonido . 1 (Segunda ed.). Macmillan. pag. 123.
- ^ JV Uspensky, Sobre un problema que surge de la teoría de un juego determinado, Amer. Matemáticas. Monthly 34 (1927), págs. 516–521.
- ^ RL Graham, sobre un teorema de Uspensky , Amer. Matemáticas. Monthly 70 (1963), págs. 407–409.
Otras lecturas
- Holshouser, Arthur; Reiter, Harold (2001). "Una generalización del teorema de Beatty" . Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics . 2 : 24-29. Archivado desde el original el 19 de abril de 2014.
- Stolarsky, Kenneth (1976). "Secuencias beatty, fracciones continuas y ciertos operadores de turno". Boletín matemático canadiense . 19 (4): 473–482. doi : 10.4153 / CMB-1976-071-6 . Señor 0444558 . Incluye muchas referencias.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Beatty Sequence" . MathWorld .
- Alexander Bogomolny , Beatty Sequences , Cortar el nudo