En la geometría semi-Riemanniana , la descomposición de Bel , tomada con respecto a una congruencia temporal específica , es una forma de romper el tensor de Riemann de una variedad pseudo-Riemanniana en tensores de orden inferior con propiedades similares al campo eléctrico y al campo magnético . Tal descomposición fue descrita parcialmente por Alphonse Matte en 1953 [1] y por Lluis Bel en 1958. [2]
Esta descomposición es particularmente importante en la relatividad general . [ cita requerida ] Este es el caso de las variedades Lorentzianas de cuatro dimensiones , para las cuales solo hay tres piezas con propiedades simples e interpretaciones físicas individuales.
Descomposición del tensor de Riemann
En cuatro dimensiones, la descomposición de Bel del tensor de Riemann, con respecto a un campo vectorial unitario similar al tiempo , no necesariamente geodésico o hipersuperficial ortogonal, consta de tres piezas:
- el tensor electrogravítico
- También conocido como tensor de mareas . Se puede interpretar físicamente como dar las tensiones de marea en pequeños trozos de un objeto material (sobre los que también pueden actuar otras fuerzas físicas), o las aceleraciones de marea de una pequeña nube de partículas de prueba en una solución de vacío o una solución de electrovacío .
- el tensor magnetogravítico
- Se puede interpretar físicamente como una especificación de posibles fuerzas de giro-giro en trozos de materia que giran, como partículas de prueba que giran .
- el tensor topogravítico
- Se puede interpretar como una representación de las curvaturas seccionales de la parte espacial de un campo de marco.
Debido a que todos estos son transversales (es decir, proyectados a los elementos espaciales del hiperplano ortogonales a nuestro campo vectorial unitario temporal), pueden representarse como operadores lineales en vectores tridimensionales o como matrices reales de tres por tres. Son respectivamente simétricas, sin trazas y simétricas (6, 8, 6 componentes linealmente independientes, para un total de 20). Si escribimos estos operadores como E , B , L respectivamente, las principales invariantes del tensor de Riemann se obtienen de la siguiente manera:
- es el rastro de E 2 + L 2 - 2 B B T ,
- es el rastro de B ( E - L ),
- es el rastro de E L - B 2 .
Ver también
Referencias
- ^ Mate, A. (1953), "Sur de nouvelles solutions oscillatoires des ecations de la gravitation", Can. J. Math. , 5 : 1, doi : 10.4153 / CJM-1953-001-3
- ^ Bel, L. (1958), "Définition d'une densité d'énergie et d'un état de radiación totale généralisée" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 246 : 3015